[Probabilità] Esercizio d'esame

[Baldur1]

Il signor Pietrucci, un ricco commerciante di diamanti decide di ricompensare suo figlio permettendogli di scegliere una scatola fra due, ognuna delle quali contiene tre pietre. In una scatola due delle pietre sono diamanti veri, e l'altra è una imitazione senza valore, mentre nell'altra scatola uno solo è il vero diamante, insieme a due imitazioni.

a) Se il figlio scegliesse a caso una delle scatole, quanto sarebbe la probabilità di avere i due
diamanti veri?
b) Il signor Pietrucci, per cavalleria, consente al figlio di estrarre una pietra da una delle scatole e di esaminarla per vedere se è un vero diamante. Il figlio decide di prendere la scatola dalla quale proviene la pietra esaminata se
questa si rivela essere un diamante, e di prendere invece l'altra nel caso opposto. Qual è la probabilità che egli ottenga i due diamanti?

Conosco gli eventi S1 = (sceglie la scatola 1) e S2 = (sceglie la scatola 2). Entrambi con prob. 1/2.
Poi conosco l'evento D = (ottiene un diamante) e inoltre che: P(D|S1) = 1/3 e che P(D|S2) = 2/3.

Ora, per rispondere al primo quesito, qual è la probabilità che scegliendo a caso, il ragazzo ottenga due veri diamanti?
Questo equivale a chiedere qual è la probabilità che scelga S2, poichè è la S2 che contiene due diamanti. Quindi direi che la risposta ad (a) è 1/2. E' giusto il ragionamento?

Il quesito (b). Io estraggo una pietra a caso, se mi esce un diamante, prendo la scatola dalla quale ho preso questo diamante; se mi esce un'imitazione, prendo l'altra scatola. Qual è la probabilità di ottenere due veri diamanti? Anche qui, mi sta chiedendo qual è la probabilità che io scelga la S2, dato che ho estratto un diamante dalla S2. Però non so come procedere nel ragionamento

[gio73]

Ho il sospetto che l'esercizio nasconda qualche paradosso...

Anche a costo di prendere una cantonata provo (mi scuso in anticipo se ti porto fuori strada)

caso a) sono d'accordo con te 50% e 50%
caso b) sono convinta che il ragionamento del ragazzo lo porti ad avere una maggiore probabilità di ottenere i due diamanti

supponiamo che per caso scelga di estrarre dalla scatola con due diamanti a questo punto ha una sola probabilità su 3 di beccare il diamante falso e scegliere l'altra scatola quella con due imitazioni
supponiamo che scelga di estrarre dalla scatola con un diamante ha una sola probbilità su 3 di beccare il diamante buono e tenersi la scatola con due fondi di bottiglia

Secondo me nel caso b) ha 2/3 probabilità di beccare la scatola buona

[superpippone]

Concordo con gio73.
Per il primo quesito la risposta è: 1/2.
Per il secondo, se il figlio utilizza quel metodo, la probabiltà di pescare la scatola buona è 2/3.
Sarebbe come a dire: "Sapendo che è stato estratto un diamante vero, qual è la probabilità che esso provenga dalla scatola che ne contiene 2?"

[Enrics92]

Posto l'evento B='estrae il diamante'; B'= 'non estrae il diamante'; l'evento A='scegli la prima scatola' ; (A' il complementare di A). Ho risolto così:
P(A)=P(A')=1/2
P('ottenga due diamanti')=P(B|A)*P(A)+ P(B'|A')P(A') = 2/3

[Baldur1]

Innanzitutto grazie a tutti per le risposte.

Non ho capito una cosa pero', per il punto a), è giusto il ragionamento che ho fatto io? Cioè ci sta chiedendo che prob. ha il ragazzo di ottenere i due diamanti, se scegliesse a caso una delle due scatole. Quindi in pratica ci sta chiedendo che prob. ha il ragazzo di scegliere la scatola che contiene due diamanti, giusto? Che è 1/2, appunto.

Per il punto b) invece, si utilizza il teorema delle prob. totali?

Grazie