Probabilità e paradossi
Vorrei condividere una riflessione su un esempio svolto nel libro: Calcolo delle Probabilità - di Sheldom M. Ross terza edizione - pag 50 (lo stesso esempio è riportato anche nelle altre edizioni sia italiane che originali).
Riporto il testo con qualche commento mio tra parentesi quadre:
"Esempio 6a. Probabilità e paradossi. Supponiamo di possedere un’urna infinitamente grande e una successione infinita di palline numerate 1,2,3, e così via. Consideriamo il seguente esperimento: un minuto prima di mezzanotte le palline numerate dall’1 al 10 vengono inserite nell’urna e la pallina 10 viene estratta (supponiamo che l’estrazione avvenga in modo immediato). A $1/2$ minuto da mezzanotte mettiamo nell’urna le palline numerate dall’11 al 20 e estraiamo la pallina numero 20. A $1/4$ di minuto dalla mezzanotte mettiamo nell’urna le palline numerate dal 21 al 30 e estraiamo la pallina numero 30. A $1/8$ di minuto da mezzanotte, mettiamo le palline dal 31 al 40 e estraiamo la pallina 40 e così via. La domanda che ci poniamo è: quante palline saranno contenute nell'urna a mezzanotte?
La risposta a questa domanda è chiaramente che ci saranno infinite palline nell’urna a mezzanotte, essendo ogni pallina con il numero diverso da $10n$, $n >= 1$, contenuta a mezzanotte nell’urna. Quindi il problema è risolto quando operiamo l’esperimento nella maniera descritta sopra.
[fin qui tutto ok]
Cambiamo ora l’esperimento e supponiamo che a $1$ minuto da mezzanotte inseriamo le palline numerate da 1 a 10 e estraiamo la pallina numero 1; a $1/2$ minuto da mezzanotte mettiamo nell’urna tutte le palline numerate dall’11 al 20 e estraiamo la pallina numero 2; a $1/4$ di minuto da mezzanotte inseriamo le palline dal 21 al 30 e estraiamo la pallina numero 3, e così via. In questo nuovo esperimento, quante palline conterrà l’urna a mezzanotte?
In maniera abbastanza sorprendente, la risposta è ora che a mezzanotte l’urna sarà vuota. Infatti, consideriamo una qualsiasi pallina - diciamo la pallina numero n. In un qualche istante prima della mezzanotte (più precisamente a $(1/2)^(n-1)$ minuti dalla mezzanotte), questa pallina verrà estratta dall’urna. Perciò, per ogni $n$, la pallina numero $n$ a mezzanotte non sarà contenuta nell’urna. Quindi in quel momento l’urna sarà vuota.
[su questa conclusione non sono d'accordo. A me sembra ovvio che dopo l'$n$-esima estrazione le palline restanti nell'urna siano sempre $10n-n=9n$ sia nel primo caso che nel secondo. O perlomeno posso essere d'accordo col fatto che per ogni $n$ la pallina numero $n$ non sarà nell'urna nella stessa misura in cui le palline $n+1, n+2, ..., n+9$ e molte altre sono ancora nell'urna].
Siccome, per ogni n, il numero di palline nell’urna dopo l'n-esimo scambio è il medesimo per entrambe le variazioni dell’esperimento appena descritto, la maggior parte delle persone rimane sorpresa per i due risultati così differenti una volta che si passi al limite.
[infatti io sono tra questi]
È importante notare come la ragione per la quale i due risultati differiscono non sia in realtà un autentico paradosso, o una cotraddizione matematica, quanto piuttosto sia dovuto alla logica del problema e come spesso l’intuizione non aiuti quando si affrontano problemi con infiniti oggetti. (Quest’ultima affermazione non risulti sorprendente: quando il matematico Georg Cantor sviluppò la teoria degli insiemi infiniti nella seconda metà del diciannovesimo secolo, molti insigni matematici la definirono senza senso e ridicolizzarono lo stesso Cantor per aver affermato che l’insieme dei numeri interi e degli interi pari hanno lo stesso numero di elementi.) [l'affermazione, pur essendo in certo senso sorprendente, non mi scandalizza ed in effetti è vero che il concetto di infinito porti spesso a dei "paradossi" ma li ho fatti miei proprio perché, nonostante cozzino con l'intuizione e/o il cosiddetto "buonsenso", alla fine tutte le presunte contraddizioni si risolvono e tutto torna ad essere perfettamente logico. In questo caso non mi sembra sia così. Ad esempio, pur non conoscendo le teorie di Cantor, non sono in disaccordo con Lui se ha detto che "l’insieme dei numeri interi e degli interi pari hanno lo stesso numero di elementi" a patto che affermi anche che il numero di interi dispari è ancora uguale a quello degli interi pari e quindi anche a quello degli interi. Inoltre si dovrebbe anche dire che che è altresì vero che l'insieme degli interi continua (come nel caso finito) ad essere l'unione dei pari e dei dispari. E' proprio il concetto di infinito a risolvere la contraddizione che si risolve affermando che tutti e tre gli insiemi, singolarmente intesi, hanno infiniti elementi. In altri termini basta conciliarsi col fatto che $oo + oo = oo $ e $oo/2 = oo$. Soltanto nel senso dell'ultima cosa che ho scritto risulterebbe sbagliato dire che il numero dei pari è metà di quello dei dispari. O forse si potrebbe anche dire che è la metà ma è anche uguale ... ma è anche il triplo o il multiplo che si volglia ... tanto è sempre infinito ... quindi uguale]
Quanto appena provato ci permette di affermare che il modo nel quale selezioniamo le palline estratte può risultare significativo.
[ed è proprio questo che mi pare ineluttabilmente assurdo]
Infatti, nel primo caso solo le palline numerate $10n$, $n >= 1$ erano state estratte, mentre nel secondo caso alla fine tutte le palline erano state estratte. Supponiamo ora che quando una pallina deve essere estratta, il numero viene scelto a caso tra quelli delle palline già contenute nell’urna. Per esempio, a 1 minuto da mezzanotte inseriremo le palline numerate dall’1 al 10 e sceglieremo tra queste a caso una pallina da estrarre, e così via. In questo caso, quante palline conterrà l’urna a mezzanotte?"
La risposta del libro è che l'urna risulterà vuota.
La dimostrazione inizia così
"Proviamo che con probabilità 1, a mezzanotte l’urna sarà vuota. Consideriamo da principio la pallina numero 1. Definiamo con En l’evento che la pallina numero 1 sia ancora nell’urna dopo che siano state fatte n estrazioni. Chiaramente"
$P(E_n)=(9*18*27*...*9n)/(10*19*28* ... *(9n+1))$
si capisce subito che al crescere di $n$ tale prob converga a zero. Sul resto della dimostrazione, che in certo modo sfrutta il fatto che la probabilità è zero per ogni numero, non ho nulla da eccepire. Tuttavia un possibile vizio lo rilevo già da subito perché si sta evidentemente estendendo la definizione classica di probabilità laddove il numero dei casi possibili, ed in questo caso anche quelli favorevoli, non è finito. Circostanza da cui lo stesso testo in causa, poche pagine prima, aveva messo in guardia.
Peraltro allora come sarebbe possibile, ad esempio, che estraendo casualmente le palline come nella sequenza iniziale, o un'altra costruita in modo simile, l'urna risulti invece piena?
In particolare mi sembra assurdo che ad ogni estrazione, ovvero col passare del tempo, l'urna si riempa sempre di più, in particolare con regola $9n$, e che invece da un certo punto in poi o comunque a mezzanotte, si svuoti.
Piuttosto è vero che, a prescindere dall'ordine, il numero di palline estratte è $oo$
... ma è $oo$ anche il numero di quelle ancora nell'urna ... e sappiamo che, almeno in generale, $oo - oo != 0$ !!!!!
Infatti in questo caso mi sembra risulti $oo$
Tuttavia ... si tratta di un libro usato in tutto il mondo è mi sembra strano vi possa essere un errore così grave, specie perché trascinato su più edizioni. Forse sono io che non ho capito ... però ...
Cosa ne pensate?
se ho detto stupidaggini ditemelo
Riporto il testo con qualche commento mio tra parentesi quadre:
"Esempio 6a. Probabilità e paradossi. Supponiamo di possedere un’urna infinitamente grande e una successione infinita di palline numerate 1,2,3, e così via. Consideriamo il seguente esperimento: un minuto prima di mezzanotte le palline numerate dall’1 al 10 vengono inserite nell’urna e la pallina 10 viene estratta (supponiamo che l’estrazione avvenga in modo immediato). A $1/2$ minuto da mezzanotte mettiamo nell’urna le palline numerate dall’11 al 20 e estraiamo la pallina numero 20. A $1/4$ di minuto dalla mezzanotte mettiamo nell’urna le palline numerate dal 21 al 30 e estraiamo la pallina numero 30. A $1/8$ di minuto da mezzanotte, mettiamo le palline dal 31 al 40 e estraiamo la pallina 40 e così via. La domanda che ci poniamo è: quante palline saranno contenute nell'urna a mezzanotte?
La risposta a questa domanda è chiaramente che ci saranno infinite palline nell’urna a mezzanotte, essendo ogni pallina con il numero diverso da $10n$, $n >= 1$, contenuta a mezzanotte nell’urna. Quindi il problema è risolto quando operiamo l’esperimento nella maniera descritta sopra.
[fin qui tutto ok]
Cambiamo ora l’esperimento e supponiamo che a $1$ minuto da mezzanotte inseriamo le palline numerate da 1 a 10 e estraiamo la pallina numero 1; a $1/2$ minuto da mezzanotte mettiamo nell’urna tutte le palline numerate dall’11 al 20 e estraiamo la pallina numero 2; a $1/4$ di minuto da mezzanotte inseriamo le palline dal 21 al 30 e estraiamo la pallina numero 3, e così via. In questo nuovo esperimento, quante palline conterrà l’urna a mezzanotte?
In maniera abbastanza sorprendente, la risposta è ora che a mezzanotte l’urna sarà vuota. Infatti, consideriamo una qualsiasi pallina - diciamo la pallina numero n. In un qualche istante prima della mezzanotte (più precisamente a $(1/2)^(n-1)$ minuti dalla mezzanotte), questa pallina verrà estratta dall’urna. Perciò, per ogni $n$, la pallina numero $n$ a mezzanotte non sarà contenuta nell’urna. Quindi in quel momento l’urna sarà vuota.
[su questa conclusione non sono d'accordo. A me sembra ovvio che dopo l'$n$-esima estrazione le palline restanti nell'urna siano sempre $10n-n=9n$ sia nel primo caso che nel secondo. O perlomeno posso essere d'accordo col fatto che per ogni $n$ la pallina numero $n$ non sarà nell'urna nella stessa misura in cui le palline $n+1, n+2, ..., n+9$ e molte altre sono ancora nell'urna].
Siccome, per ogni n, il numero di palline nell’urna dopo l'n-esimo scambio è il medesimo per entrambe le variazioni dell’esperimento appena descritto, la maggior parte delle persone rimane sorpresa per i due risultati così differenti una volta che si passi al limite.
[infatti io sono tra questi]
È importante notare come la ragione per la quale i due risultati differiscono non sia in realtà un autentico paradosso, o una cotraddizione matematica, quanto piuttosto sia dovuto alla logica del problema e come spesso l’intuizione non aiuti quando si affrontano problemi con infiniti oggetti. (Quest’ultima affermazione non risulti sorprendente: quando il matematico Georg Cantor sviluppò la teoria degli insiemi infiniti nella seconda metà del diciannovesimo secolo, molti insigni matematici la definirono senza senso e ridicolizzarono lo stesso Cantor per aver affermato che l’insieme dei numeri interi e degli interi pari hanno lo stesso numero di elementi.) [l'affermazione, pur essendo in certo senso sorprendente, non mi scandalizza ed in effetti è vero che il concetto di infinito porti spesso a dei "paradossi" ma li ho fatti miei proprio perché, nonostante cozzino con l'intuizione e/o il cosiddetto "buonsenso", alla fine tutte le presunte contraddizioni si risolvono e tutto torna ad essere perfettamente logico. In questo caso non mi sembra sia così. Ad esempio, pur non conoscendo le teorie di Cantor, non sono in disaccordo con Lui se ha detto che "l’insieme dei numeri interi e degli interi pari hanno lo stesso numero di elementi" a patto che affermi anche che il numero di interi dispari è ancora uguale a quello degli interi pari e quindi anche a quello degli interi. Inoltre si dovrebbe anche dire che che è altresì vero che l'insieme degli interi continua (come nel caso finito) ad essere l'unione dei pari e dei dispari. E' proprio il concetto di infinito a risolvere la contraddizione che si risolve affermando che tutti e tre gli insiemi, singolarmente intesi, hanno infiniti elementi. In altri termini basta conciliarsi col fatto che $oo + oo = oo $ e $oo/2 = oo$. Soltanto nel senso dell'ultima cosa che ho scritto risulterebbe sbagliato dire che il numero dei pari è metà di quello dei dispari. O forse si potrebbe anche dire che è la metà ma è anche uguale ... ma è anche il triplo o il multiplo che si volglia ... tanto è sempre infinito ... quindi uguale]
Quanto appena provato ci permette di affermare che il modo nel quale selezioniamo le palline estratte può risultare significativo.
[ed è proprio questo che mi pare ineluttabilmente assurdo]
Infatti, nel primo caso solo le palline numerate $10n$, $n >= 1$ erano state estratte, mentre nel secondo caso alla fine tutte le palline erano state estratte. Supponiamo ora che quando una pallina deve essere estratta, il numero viene scelto a caso tra quelli delle palline già contenute nell’urna. Per esempio, a 1 minuto da mezzanotte inseriremo le palline numerate dall’1 al 10 e sceglieremo tra queste a caso una pallina da estrarre, e così via. In questo caso, quante palline conterrà l’urna a mezzanotte?"
La risposta del libro è che l'urna risulterà vuota.
La dimostrazione inizia così
"Proviamo che con probabilità 1, a mezzanotte l’urna sarà vuota. Consideriamo da principio la pallina numero 1. Definiamo con En l’evento che la pallina numero 1 sia ancora nell’urna dopo che siano state fatte n estrazioni. Chiaramente"
$P(E_n)=(9*18*27*...*9n)/(10*19*28* ... *(9n+1))$
si capisce subito che al crescere di $n$ tale prob converga a zero. Sul resto della dimostrazione, che in certo modo sfrutta il fatto che la probabilità è zero per ogni numero, non ho nulla da eccepire. Tuttavia un possibile vizio lo rilevo già da subito perché si sta evidentemente estendendo la definizione classica di probabilità laddove il numero dei casi possibili, ed in questo caso anche quelli favorevoli, non è finito. Circostanza da cui lo stesso testo in causa, poche pagine prima, aveva messo in guardia.
Peraltro allora come sarebbe possibile, ad esempio, che estraendo casualmente le palline come nella sequenza iniziale, o un'altra costruita in modo simile, l'urna risulti invece piena?
In particolare mi sembra assurdo che ad ogni estrazione, ovvero col passare del tempo, l'urna si riempa sempre di più, in particolare con regola $9n$, e che invece da un certo punto in poi o comunque a mezzanotte, si svuoti.
Piuttosto è vero che, a prescindere dall'ordine, il numero di palline estratte è $oo$
... ma è $oo$ anche il numero di quelle ancora nell'urna ... e sappiamo che, almeno in generale, $oo - oo != 0$ !!!!!
Infatti in questo caso mi sembra risulti $oo$
Tuttavia ... si tratta di un libro usato in tutto il mondo è mi sembra strano vi possa essere un errore così grave, specie perché trascinato su più edizioni. Forse sono io che non ho capito ... però ...
Cosa ne pensate?
se ho detto stupidaggini ditemelo
Risposte
Vi sembra corretto quanto sostengo? Nessuno ha osservazioni ?
Io concludo che il paradosso è da intendere al contrario di come il testo suggerisce.
Ovvero: la probabilità che a mezzanotte una qualsiasi pallina numerata sia all'interno dell'urna è pari a $0$, eppure l'urna risulterà piena (vi saranno dentro infinite palline).
Ovvero: la probabilità che a mezzanotte una qualsiasi pallina numerata sia all'interno dell'urna è pari a $0$, eppure l'urna risulterà piena (vi saranno dentro infinite palline).
Se la terza edizione e' quella italiana, trovi tutto a pagina 50 (e' presente anche nelle versioni italiane 1 e 2 ed anche in diverse inglesi, ad esempio la versione 8th pag 46).
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