Probabilità e Just Eat
Buonasera a tutti!
Per diletto stavo calcolando una probabilità molto particolare... Ovvero: quale è la probabilità che, ordinando n volte la vostra cena online, siate serviti più di una volta dallo stesso "rider"?
Ho ragionato così: L'ordine è un processo di Bernoulli, e segue una distribuzione binomiale.Il nostro "esperimento" avrà "successo" quando, dopo n ordini, avremo incontrato lo stesso rider almeno j volte, con \(\displaystyle 2 \leq j \leq n \). In particolare sono arrivato a questa somma finita:
\(\displaystyle p(n) = \sum_{k=2}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}q^k (1-q)^{n-k}\)
dove \(\displaystyle q \) è la probabilità di incontrare un rider tra gli \(\displaystyle N \) disponibili (chiaramente \(\displaystyle q=\frac{1}{N} \)).
E il problema sembrerebbe dunque risolto (quihttps://www.desmos.com/calculator/qlfmqurahq il grafico di p in funzione di x e del parametro N). Mi servirebbe solo un aiuto per trasformare quella orribile somma in una forma un po' più... Chiusa. Possibilmente in funzione solo di n ed N. Grazie!
Per diletto stavo calcolando una probabilità molto particolare... Ovvero: quale è la probabilità che, ordinando n volte la vostra cena online, siate serviti più di una volta dallo stesso "rider"?
Ho ragionato così: L'ordine è un processo di Bernoulli, e segue una distribuzione binomiale.Il nostro "esperimento" avrà "successo" quando, dopo n ordini, avremo incontrato lo stesso rider almeno j volte, con \(\displaystyle 2 \leq j \leq n \). In particolare sono arrivato a questa somma finita:
\(\displaystyle p(n) = \sum_{k=2}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}q^k (1-q)^{n-k}\)
dove \(\displaystyle q \) è la probabilità di incontrare un rider tra gli \(\displaystyle N \) disponibili (chiaramente \(\displaystyle q=\frac{1}{N} \)).
E il problema sembrerebbe dunque risolto (quihttps://www.desmos.com/calculator/qlfmqurahq il grafico di p in funzione di x e del parametro N). Mi servirebbe solo un aiuto per trasformare quella orribile somma in una forma un po' più... Chiusa. Possibilmente in funzione solo di n ed N. Grazie!
Risposte
"sphyr":
Salve a tutti!
Sono uno studente del primo anno di fisica...
"sphyr":
. Mi servirebbe solo un aiuto per trasformare quella orribile somma in una forma un po' più... Chiusa. Possibilmente in funzione solo di n ed N. Grazie!
1) Buone notizie
Beh conoscendo lo sviluppo del binomio di Newton (conoscenza da prima liceo) hai che
$sum_(k=0)^(n)((n),(k))q^k(1-q)^(n-k)=[q+(1-q)]^n=1^n=1$
e quindi la tua somma viene
$1-(1-q)^n-n q(1-q)^(n-1)$
2) Cattive notizie
La somma che hai scritto NON è la risposta corretta alla probabilità cercata, è solo la probabilità che uno specifico raider passi da te almeno 2 volte.
Mi spiego meglio: su 10 ordini Aldo passa 1 volta, Giovanni 4 e Giacomo 5. Nella tua somma stai calcolando la probabilità che Aldo passi almeno 2 volte (tralasciando tutto il resto) e quindi escludi questa realizzazione campionaria.
"sphyr":
Per diletto stavo calcolando una probabilità molto particolare...
Più che altro stai calcolando la probabilità di un esperimento malposto. Ad esempio, se $n>N$ la probabilità cercata è 1. Se invece $n<=N$ allora, posto che i raider siano fissi[nota]che è una contraddizione in termini[/nota] e che passino da te in modo equiprobabile ed indipendente[nota]altra ipotesi poco realistica[/nota], la probabilità cercata è
$1-(N!)/(N^n(N-n)!)$
Spero che il problema sia chiaro.....
Saluti
Apprezzo la risposta ma... Controllare i miei interventi passati prima di rispondere? Not a cute look.
Tant'è.
Comunque la probabilità che passasse un rider specifico era esattamente quella che cercavo... Considerando
\(\displaystyle q= \)Passa un certo rider
\(\displaystyle 1-q= \)Passa qualsiasi altro rider
Avevo pensato a completare la somma dei coefficienti binomiali e considerare la probabilità del reciproco ma la formula ottenuta non mi convinceva (\(\displaystyle p \) cresceva al crescere di \(\displaystyle N \)... Che non aveva alcun senso)
Non capisco però come tu abbia costruito la probabilità "corretta", anche se apprezzo molto la considerazione che per \(\displaystyle n>N \) essa debba essere 1 (pidgeonhole ecc ecc)
P.S. Se proprio l'idea di Just Eat non ti piace, liberissimo di supporre che \(\displaystyle q=\frac{1}{N} \) sia una qualsiasi variabile aleatoria discreta... Suvvia.
Tant'è.
Comunque la probabilità che passasse un rider specifico era esattamente quella che cercavo... Considerando
\(\displaystyle q= \)Passa un certo rider
\(\displaystyle 1-q= \)Passa qualsiasi altro rider
Avevo pensato a completare la somma dei coefficienti binomiali e considerare la probabilità del reciproco ma la formula ottenuta non mi convinceva (\(\displaystyle p \) cresceva al crescere di \(\displaystyle N \)... Che non aveva alcun senso)
Non capisco però come tu abbia costruito la probabilità "corretta", anche se apprezzo molto la considerazione che per \(\displaystyle n>N \) essa debba essere 1 (pidgeonhole ecc ecc)
P.S. Se proprio l'idea di Just Eat non ti piace, liberissimo di supporre che \(\displaystyle q=\frac{1}{N} \) sia una qualsiasi variabile aleatoria discreta... Suvvia.
"sphyr":
Controllare i miei interventi passati prima di rispondere? Not a cute look.
Tant'è.
faccio il moderatore e non accetto consigli o commenti sul buon comportamento se non da un altro moderatore (che comunque non lo farebbe nel forum pubblico) e soprattutto non lo accetto nella mia stanza.
Ad ogni modo, FYK, leggo sempre gli interventi passati di chiunque scriva qui per la prima volta, perché mi serve a capire chi ho davanti ed a modulare la risposta in funzione delle conoscenze dell'utente.
"sphyr":
Comunque la probabilità che passasse un rider specifico era esattamente quella che cercavo... Considerando
\(\displaystyle q= \)Passa un certo rider
\(\displaystyle 1-q= \)Passa qualsiasi altro rider
Allora la formula è giusta, la probabilità cercata[nota]te l'ho anche dimostrato[/nota] è $1-(1-q)^n-n q(1-q)^(n-1)$, diminuisce al crescere di $N>=n$ con $n$ fissato ma rimane il fatto che hai scritto male la traccia.
"sphyr":
Avevo pensato a completare la somma dei coefficienti binomiali e considerare la probabilità del reciproco
...ma tu lo sai cosa significa "reciproco" in Matematica?
La probabilità corretta relativamente alla traccia postata? prova e vediamo....se non ho messo la soluzione significa che non è così complicato
ora vado a nanna perché qui sono le 3.30 del mattino.
Scusa... Mi sono confuso. Pensavo all' evento complementare \(\displaystyle \bar E \). Scusa comunque se la risposta era un po' stizzita. Per me possiamo chiudere il thread 
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