Probabilità e funzioni cumulative
Salve, vorrei proporre un problema sulle funzioni cumulative.
data la funzione cumulativa:
$\F(x)={(k/(2(x^2+1)) , x≤0),((x+1)/2 , 0
Metodo di risoluzione, impostazione:
$\(k/(2(x^2+1)))=0$
$\int_0^1((x+1)/2)dx=f(x)$ , funzione distribuzione di probabilità .
$\E(X)=int_0^1(f(x)*x)dx$
Sarei molto grata se qualcuno può provare a controllare il mio procedimento per sapere se è esatto o ci sono errori.
Grazie a tutti in anticipo!
data la funzione cumulativa:
$\F(x)={(k/(2(x^2+1)) , x≤0),((x+1)/2 , 0
Metodo di risoluzione, impostazione:
$\(k/(2(x^2+1)))=0$
$\int_0^1((x+1)/2)dx=f(x)$ , funzione distribuzione di probabilità .
$\E(X)=int_0^1(f(x)*x)dx$
Sarei molto grata se qualcuno può provare a controllare il mio procedimento per sapere se è esatto o ci sono errori.
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Non è ben chiaro quello che scrivi. La prima condizione così scritta non ha senso. La seconda serve per determinare la pdf? Sei sicura?
Ti ricordo che
[tex]f(x)=\frac{dF(x)}{dx}[/tex]
Ti ricordo che
[tex]f(x)=\frac{dF(x)}{dx}[/tex]
E' vero credo anche io di aver sbagliato perchè non ne so molto di statistica, potresti darmi una mano?
La CDF ha le seguenti due proprietà fondamentali (ma non le uniche):
[tex]\lim_{x\to+\infty}F(x)=1[/tex]
[tex]\lim_{x\to-\infty}F(x)=0[/tex]
Puoi facilmente vedere che la prima è verificata. La seconda anche è verificata indipendentemente dal valore di [tex]k[/tex]. (devi fare semplicemente un limite, spero tu abbia un impasto di analisi I).
Dunque, direi che la condizione che ti può permettere di determinare [tex]k[/tex] è la continuità della funzione per [tex]x=0[/tex]. Questo punto lo lascio risolvere a te.
Successivamente calcoli la pdf come ti ho precedentemente consigliato e poi il valore medio. Fammi sapere se ci sono altri problemi.
[tex]\lim_{x\to+\infty}F(x)=1[/tex]
[tex]\lim_{x\to-\infty}F(x)=0[/tex]
Puoi facilmente vedere che la prima è verificata. La seconda anche è verificata indipendentemente dal valore di [tex]k[/tex]. (devi fare semplicemente un limite, spero tu abbia un impasto di analisi I).
Dunque, direi che la condizione che ti può permettere di determinare [tex]k[/tex] è la continuità della funzione per [tex]x=0[/tex]. Questo punto lo lascio risolvere a te.
Successivamente calcoli la pdf come ti ho precedentemente consigliato e poi il valore medio. Fammi sapere se ci sono altri problemi.
Allora, grazie al tuo aiuto ho provato a risolvere così, vediamo se ho capito bene:
1) $\lim_{x \to \+infty}F(1)=1$ sempre.
2) $\lim_{x \to \-infty}F(0)=0$ sempre.
3) $\lim_{x \to \0^-}(k/(2(x^2+1)))=lim_{x \to \0^+}((x+1)/2)$ mi esce $\k/2=1/2$ cioè $\k=1$ .
4) $\f(x)={(-x/(x^2+1)^2,ifx<=0),(1/2,if01):}$
5) $\E(X)=int_(-infty)^(+infty)f(x)dx=int_(-infty)^(0)(-x/(x^2+1)^2*x)dx+int_0^1(1/2*x)dx$
è giusto?
1) $\lim_{x \to \+infty}F(1)=1$ sempre.
2) $\lim_{x \to \-infty}F(0)=0$ sempre.
3) $\lim_{x \to \0^-}(k/(2(x^2+1)))=lim_{x \to \0^+}((x+1)/2)$ mi esce $\k/2=1/2$ cioè $\k=1$ .
4) $\f(x)={(-x/(x^2+1)^2,ifx<=0),(1/2,if0
5) $\E(X)=int_(-infty)^(+infty)f(x)dx=int_(-infty)^(0)(-x/(x^2+1)^2*x)dx+int_0^1(1/2*x)dx$
è giusto?
l'unico problema è che non riesco a calcolare la media, non riesco a risolvere l'integrale!
grazie mille non so come avrei fatto!!!!
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