Probabilità e calcolo combinatorio

[Plutarco27]

Salve a tutti, sto riscontrando alcuni problemi nella risoluzione di tale esercizio: " in un test a risposta multipla le risposte esatte valgono 4, le risposte sbagliate - 1, la risposta non data vale 0. Sapendo che ogni domanda ha esattamente 5 opzioni possibili, di cui una sola é corretta, e sapendo che in totale si deve rispondere a 4 domande, qual é la probabilità che rispondendo a tutte le domande, di conseguire un punteggio di almeno 11/16?"

Io ho capito che per ottenere un punteggio pari a 11/16 rispondendo a tutte quattro le domande significa che vi sono 3 risposte corrette e 1 sbagliata (4x3 - 1)=11.
Dato che per ogni domanda le opzioni di risposta sono 5, ho trovato che la P= 1/5^4
Tuttavia in questo modo io considero solo la probabilità di ottenere 11/16 con una sola configurazione.
Mi trovo in difficoltà nel trovare le altre combinazioni possibili.

Potreste aiutarmi? Grazie mille

[matteo1113]

[hide="."]L'idea di fondo è giusta, ma ci sono delle imprecisioni, cominciamo dall'inizio.
Vediamo la probabilità di fare 11 punti: un possibile modo è indovinare le prime 3 risposte e sbagliare la quarta, la probabilità di fare ciò è (1/5)^3*4/5.
Ora devo vedere quante configurazioni simili ho: sono 4, che corrispondono a sbagliare la quarta domanda, sbagliare la terza, sbagliare la seconda e sbagliare la prima. Quindi la probabilità di fare 11 punti è
4*(1/5)^3*4/5.
Poiché la traccia parlava di almeno 11 punti, allora devi considerare anche 16 punti come caso positivo. La probabilità di fare 16, cioè 4 risposte giuste, è banalmente (1/5)^4.
Quindi la probabilità totale di fare almeno 11 punti è 4*(1/5)^3*4/5+(1/5)^4[/hide]

[gugo82]

Innanzitutto, sbagli a leggere il testo.
Vuoi un punteggio $>= 11/16$, non solo $=11/16$.

Sono un po’ arrugginito, quindi chiedo anch’io conferma a chi può essere più ferrato in materia.

Per quanto detto più sopra, possono andar bene:

[*:rm64l6bb] $3$ risp. giuste ed $1$ risp. non data (punteggio $12/16$);

[/*:m:rm64l6bb]
[*:rm64l6bb] $3$ risp. giuste ed $1$ risp. sbagliata (punteggio $11/16$);

[/*:m:rm64l6bb]
[*:rm64l6bb] $4$ risp. giuste (punteggio $16/16$).[/*:m:rm64l6bb][/list:u:rm64l6bb]

Chiaramente, l’ultima alternativa è quella raggiungibile in un solo caso, mentre le altre due sono raggiungibili nello stesso numero di casi.
In particolare, il numero di casi in cui è possibile raggiungere punteggio $11/16$ coincide con il numero di disposizioni di $1$ risp. sbagliata su $4$ domande, i.e. $4$ casi; analogo discorso per il punteggio $12/16$, raggiungibile anch’esso in $4$ casi.
Conseguentemente, i casi favorevoli all’evento considerato sono $1+4+4=9=3^2$.

D’altra parte, ogni domanda può non essere risposta, essere risposta esattamente od essere risposta erroneamente; dunque il numero totale di casi possibili è $3^4$.

La probabilità dell’evento considerato è $P=3^2/3^4=1/9 approx 0,111= 11.1%$.

Che vi pare?

[Lo_zio_Tom]

"gugo82":

Che vi pare?

Non va bene. E' vero che ci sono $3^4$ casi possibili ma non sono tutti equiprobabili. Il tuo risultato è indipendente dal numero di risposte possibili ad ogni quesito e ciò non è corretto.

Prima di rispondere è necessario fare alcune premesse:

1) il messaggio in oggetto è il terzo che l'utente posta, dopo che ne ho disapprovati due: questo è il poco confortante risultato di tre tentativi ...ti lascio immaginare il livello degli altri messaggi

2) Il testo postato non è il testo originale di un problema per i seguenti motivi:

a) punteggio maggiore o uguale a $11/16$? ovvero punteggio maggiore o uguale a $11/16=0.6875$? Quindi basta rispondere bene ad almeno una domanda?

b) non si dice da nessuna parte come vengono date le risposte....c'è da immaginare che TUTTE le scelte vengano fatte in modo indipendente e casuale, quindi la variabile che definisce il punteggio in ogni singola risposta è questa

$X={{: ( -1 , 0 ,4 ),( 4/10 , 5/10 , 1/10 ) :}$

c) ora veniamo al punto principale del problema:

"Plutarco27":... qual é la probabilità che rispondendo a tutte le domande, di conseguire un punteggio di almeno 11/16?"

Considerando l'infimo livello grammaticale della frase postata dubito che il testo originale fosse esattamente quello
[ot]qui altro che relatore che corre dietro al tesista armato di mattarello, qui è il caso di bruciare la licenza elementare....[/ot]

E' pleonastico rimarcare che nei quesiti di probabilità e logica la parte più importante è la comprensione del testo; quale sia il testo originale corretto non lo posso sapere perché non ho la sfera di cristallo ma posso immaginare una delle due seguenti alternative:

$(i) "$ "Qual è la probabilità che risponda a tutte le domande E consegua un punteggio di almeno 11?"

Risposta: $(1/2)^4[((4),(3))(1/5)(4/5)^3+(1/5)^4]$

$(ii) "$ "Dato che risponde a tutte e 4 le domande, qual è la probabiltà che consegua un punteggio di almeno 11?"

Risposta: $((4),(3))(1/5)(4/5)^3+(1/5)^4$

mi sono anche divertito a calcolare, sotto ipotesi di indipendenza e scelta casuale, tutta la distribuzione relativa al punteggio totale delle 4 risposte.

Ecco la variabile risultante

Casi possibili	Punteggio	Probabilità (%)
-4	2.56	4
12.80	6	-2
4	-1	20.00
0	6.25	4
2.56	12	2
12	3	12.00
4	5	6
0.96	12	7
6	8	1.50
11	0.16	4
0.20	1	16

Tutti i casi che generano il medesimo punteggio sono equiprobabili

@matteo111: se dopo 91 messaggi e 6 anni di permanenza nel forum non hai ancora imparato a scrivere 2 righe in LaTeX ti chiedo cortesemente di astenerti dall'elargire consigli; lo ritengo poco educativo e contrario alla politica del forum