Probabilità, distribuzione normale, stimatori della media
Ciao a tutti. Tra 3 giorni ho l'esame di statistica e ho alcuni esercizi su cui ho più di un dubbio. Ve li schematizzo nel modo seguente e vi ringrazio anticipatamente per le risposte. So che sono diversi esercizi ma ho ancora un po' di confusione. Grazie.
1. il tempo per i lavori eseguiti da una società di ristrutturazione è distribuito secondo una normale di media 12 e deviazione standard 5. Prendendo a caso due lavori, qual è la probabilità che la somma dei due tempi sia superiore a 25?
Ho ragionato così: considero la variabile S come S=(x+y).
Il valore atteso di S è: $ E(x) + E(y)= 12 + 12 = 24 $
La varianza di S è: $ Var(x) + Var(y)= 25 + 25 = 50 $. Perciò la dev. standard è $ sqrt(50) = 7,071 $
Perciò abbiamo che la variabile S si distribuisce con una normale con media 24 e $\sigma = 7,071 $
A questo punto standardizzo con X=25 e trovo la probabilità che X sia maggiore di 25, giusto o sbaglio qualcosa nel ragionamento?
2.studiare le proprietà di correttezza ed efficienza dei due stimatori:
$ mu1 = 1/n*sum_(i = 1)^(n-2)(x_i) $
$ mu2= 1/(n-2)*sum_(i = 1)^(n)(x_i) $
Per l'efficienza il valore atteso di $ mu1 $ mi viene:$ (n-2)/n*mu $
Per $ mu2 $ mi viene: $ n/(n-2)*mu $
Per la consistenza $ mu1 = (n-2)/n^2*sigma^2 $
Per $ mu2 =[ n/(n-2)^2]sigma^2 $
I risultati sono giusti? Vengono entrambi distorti e tra i due il più efficiente è il primo, giusto?
Poi: considerare $ mu3= (mu1 + mu2)/2 $ e si studi la sua correttezza.
Qui lo stimatore mi verrebbe: $ mu3 = [(n-2)*sum_(i = 1)^(n-2)(x_i) + n*sum_(i = 1)^(n)(x_i)]/[2n(n-2)] $
Poi per la correttezza il suo valore atteso mi viene: $ {n^2*mu + [(n-2)^2]mu}/[2n(n-2)] $
e poi con i calcoli si arriva a $ [(n^2)*mu - 2n*mu + 2*mu]/[n(n-2)] $
Ho fatto giusto? C'è qualcosa che non torna?
3. si condideri il seguente stimatore e si verifichi correttezza e consistenza:
$ mu = [sum_(i = 2)^(n)(x_i - x_i-1)]/[2*(n-1)] $
Mi vengono sia il valore atteso che la varianza 0, è possibile o sbaglio qualcosa?
Il passaggio seguente è corretto? $ E[sum_(i = 2)^(n)(x_i - x_(i-1))] = sum_(i = 2)^(n)(E(x_i) - E(x_(i-1))) = sum_(i = 2)^(n)(mu - mu) = 0 $
4. sia $ {X_1 X_2 } $ un campione casuale estratto da una popolazione normale con media 0 e varianza unitaria.
(a) qual è la distribuzione di: $ (2X_2 + 2X_1)/4 $ ?
(b) qual è la distribuzione di: $ (3X_1 + X_2)/4 $ ?
Non ho capito bene cosa voglia sapere il testo e quindi ciò che c'è da fare dell'esercizio...
5.la variabile X si distribuisce come una normale con media 5 e dev. standard 2. Ricavare la distribuzione campionaria della media per un campione di numerosità uguale a 121. Qui non ho ancora capito bene esattamente la consegna: si deve disegnare la distribuzione campionaria e individuare la sua media e la sua dev. standard (che sono 5 e $ 2/11 $)? O cos'altro si deve fare?
6.si estragga il seguente campione casuale di dimensione n=6 da una popolazione di distribuzione uniforme tra θ e 6θ. Campione = (4, 5, 6, 3, 5, 4)
(a) ricavare la funzione di densita di probabilità. $ 1/(6θ -θ) = 1/(5θ) $ è giusto?
(b) calcolarre la media e la varianza della popolazione della X in termini del parametro θ. $ mu = (θ + 6θ)/2 /sigma^2= [(θ - 6θ)^2]/2 $ è giusto?
(c) qual è una stima plausibile per θ partendo dal campione estratto? Questa non ne ho idea.
7. le conversazione di un centralino hanno una durata che si distribuisce con media 10,5 e dev.standard 12. Qual è la durata minima di una conversazione che ha probabilità 0,3 di verificarsi?
In questo caso devo lasciarmi come coda a sinistra il 70% delle conversazione e il 30 % a destra, individuando perciò con standardizzazione il valore da trovare, giusto?
8. una squadra è composta da 8 giocatori e per dormire in hotel vengono alloggiati a caso in due camere triple e una doppia.
(a) quante possibili disposizioni nelle camere si possono osservare?
(b) qual è la probabilità che un giocatore venga assegnato alla camera doppia? $ 2/8 $ giusto?
(c) se il gruppo è di 3 alzatori e 5 schiacciatori, qual è la probabilità che un alzatore divida la stanza con almeno uno schiacciatore?
Un enorme grazie a chi mi darà una mano. Lo so, ho scritto parecchie cose, e ho anche impiegato un'oretta buona a scriverle tutte correttamente
. Grazie ancora.
1. il tempo per i lavori eseguiti da una società di ristrutturazione è distribuito secondo una normale di media 12 e deviazione standard 5. Prendendo a caso due lavori, qual è la probabilità che la somma dei due tempi sia superiore a 25?
Ho ragionato così: considero la variabile S come S=(x+y).
Il valore atteso di S è: $ E(x) + E(y)= 12 + 12 = 24 $
La varianza di S è: $ Var(x) + Var(y)= 25 + 25 = 50 $. Perciò la dev. standard è $ sqrt(50) = 7,071 $
Perciò abbiamo che la variabile S si distribuisce con una normale con media 24 e $\sigma = 7,071 $
A questo punto standardizzo con X=25 e trovo la probabilità che X sia maggiore di 25, giusto o sbaglio qualcosa nel ragionamento?
2.studiare le proprietà di correttezza ed efficienza dei due stimatori:
$ mu1 = 1/n*sum_(i = 1)^(n-2)(x_i) $
$ mu2= 1/(n-2)*sum_(i = 1)^(n)(x_i) $
Per l'efficienza il valore atteso di $ mu1 $ mi viene:$ (n-2)/n*mu $
Per $ mu2 $ mi viene: $ n/(n-2)*mu $
Per la consistenza $ mu1 = (n-2)/n^2*sigma^2 $
Per $ mu2 =[ n/(n-2)^2]sigma^2 $
I risultati sono giusti? Vengono entrambi distorti e tra i due il più efficiente è il primo, giusto?
Poi: considerare $ mu3= (mu1 + mu2)/2 $ e si studi la sua correttezza.
Qui lo stimatore mi verrebbe: $ mu3 = [(n-2)*sum_(i = 1)^(n-2)(x_i) + n*sum_(i = 1)^(n)(x_i)]/[2n(n-2)] $
Poi per la correttezza il suo valore atteso mi viene: $ {n^2*mu + [(n-2)^2]mu}/[2n(n-2)] $
e poi con i calcoli si arriva a $ [(n^2)*mu - 2n*mu + 2*mu]/[n(n-2)] $
Ho fatto giusto? C'è qualcosa che non torna?
3. si condideri il seguente stimatore e si verifichi correttezza e consistenza:
$ mu = [sum_(i = 2)^(n)(x_i - x_i-1)]/[2*(n-1)] $
Mi vengono sia il valore atteso che la varianza 0, è possibile o sbaglio qualcosa?
Il passaggio seguente è corretto? $ E[sum_(i = 2)^(n)(x_i - x_(i-1))] = sum_(i = 2)^(n)(E(x_i) - E(x_(i-1))) = sum_(i = 2)^(n)(mu - mu) = 0 $
4. sia $ {X_1 X_2 } $ un campione casuale estratto da una popolazione normale con media 0 e varianza unitaria.
(a) qual è la distribuzione di: $ (2X_2 + 2X_1)/4 $ ?
(b) qual è la distribuzione di: $ (3X_1 + X_2)/4 $ ?
Non ho capito bene cosa voglia sapere il testo e quindi ciò che c'è da fare dell'esercizio...
5.la variabile X si distribuisce come una normale con media 5 e dev. standard 2. Ricavare la distribuzione campionaria della media per un campione di numerosità uguale a 121. Qui non ho ancora capito bene esattamente la consegna: si deve disegnare la distribuzione campionaria e individuare la sua media e la sua dev. standard (che sono 5 e $ 2/11 $)? O cos'altro si deve fare?
6.si estragga il seguente campione casuale di dimensione n=6 da una popolazione di distribuzione uniforme tra θ e 6θ. Campione = (4, 5, 6, 3, 5, 4)
(a) ricavare la funzione di densita di probabilità. $ 1/(6θ -θ) = 1/(5θ) $ è giusto?
(b) calcolarre la media e la varianza della popolazione della X in termini del parametro θ. $ mu = (θ + 6θ)/2 /sigma^2= [(θ - 6θ)^2]/2 $ è giusto?
(c) qual è una stima plausibile per θ partendo dal campione estratto? Questa non ne ho idea.
7. le conversazione di un centralino hanno una durata che si distribuisce con media 10,5 e dev.standard 12. Qual è la durata minima di una conversazione che ha probabilità 0,3 di verificarsi?
In questo caso devo lasciarmi come coda a sinistra il 70% delle conversazione e il 30 % a destra, individuando perciò con standardizzazione il valore da trovare, giusto?
8. una squadra è composta da 8 giocatori e per dormire in hotel vengono alloggiati a caso in due camere triple e una doppia.
(a) quante possibili disposizioni nelle camere si possono osservare?
(b) qual è la probabilità che un giocatore venga assegnato alla camera doppia? $ 2/8 $ giusto?
(c) se il gruppo è di 3 alzatori e 5 schiacciatori, qual è la probabilità che un alzatore divida la stanza con almeno uno schiacciatore?
Un enorme grazie a chi mi darà una mano. Lo so, ho scritto parecchie cose, e ho anche impiegato un'oretta buona a scriverle tutte correttamente
. Grazie ancora.
Risposte
Benvenuto sul forum.
1. e 2. mi sembrano OK
Sul 3 la varianza non è nulla.
Sul 4 credo voglia sapere se sono normali e con quale media e varianza
5. Penso voglia sapere che la media campionaria si distribuisce come una normale con i parametri che hai calcolato.
6b Nella varianza al denominatore ci vuole 12, non 2 (penso sia un errore di distrazione
)
6c Potresti usare il metodo dei momenti: uguaglia la media campionaria alla media $\mu$ della variabile..
7. mi sembra OK
8. Proponi una soluzione
Ciao
1. e 2. mi sembrano OK
Sul 3 la varianza non è nulla.
Sul 4 credo voglia sapere se sono normali e con quale media e varianza
5. Penso voglia sapere che la media campionaria si distribuisce come una normale con i parametri che hai calcolato.
6b Nella varianza al denominatore ci vuole 12, non 2 (penso sia un errore di distrazione
)6c Potresti usare il metodo dei momenti: uguaglia la media campionaria alla media $\mu$ della variabile..
7. mi sembra OK
8. Proponi una soluzione
Ciao
"cenzo":
Benvenuto sul forum.
1. e 2. mi sembrano OK
Sul 3 la varianza non è nulla.
Sul 4 credo voglia sapere se sono normali e con quale media e varianza
5. Penso voglia sapere che la media campionaria si distribuisce come una normale con i parametri che hai calcolato.
6b Nella varianza al denominatore ci vuole 12, non 2 (penso sia un errore di distrazione
6c Potresti usare il metodo dei momenti: uguaglia la media campionaria alla media $\mu$ della variabile..
7. mi sembra OK
8. Proponi una soluzione
Ciao
Innanzitutto grazie per la risposta. Rispondo per punti.
3. quindi il valore atteso è 0? Intanto faccio i passaggi che ho fatto io per la varianza e vedi se sono corretti.
$ Var[sum_(i = 2)^(n)(x_i - x_(i-1))] = sum_(i = 2)^(n)(Var( x_i - x_(i-1))) = sum_(i = 2)^(n)(Var(x_i) - Var(x_(i-1))) = sum_(i = 2)^(n)(sigma^2 - sigma^2) = sum_(i = 2)^(n)(0) = 0
In cosa sbaglio?
4. quindi ad esempio mi calcolo il valore atteso e la varianza delle due distribuzioni e mi uscira i valori di media e varianza. E come si fa a vedere se tali distribuzioni sono normali una volta trovata la varianza e la media?
6. (b) si, è 12, ho mancato un 1
(c)quindi $ 7/2θ = (4+5+6+3+5+4)/6 $ e poi è un'equazione di primo grado con solo teta incognito, giusto?
8. (a) azzardo così: mi chiede il numero dei casi possibili, ovvero tutte le possibili permutazioni di 8 oggetti, ovvero 8!, quindi 40320.
(b) credo sia $ 2/8 = 25% $
(c) ho fatto questo ragionamento: l'unico caso in cui gli alzatori non siano in camera con almeno uno schiacciatore è che tutti e 3 gli alzatori siano in una tripla, con 3! permutazioni, quindi 6. Considerando che ci sono due camere triple, ci saranno 6+6 = 12 casi in cui tutti e 3 gli alzatori sono in camera tra di loro. Quindi $ 1 - 12/40320 = 0,999 $ E' giusto il mio ragionamento? O sbaglio ad interpretare il testo e il testo in realtà dice di considerare solo i casi in cui UN SOLO alzatore divida la stanza con almeno uno schiacciatore?
Grazie, attendo risposta
"marco_reus":
3. $ sum_(i = 2)^(n)(Var( x_i - x_(i-1))) = sum_(i = 2)^(n)(Var(x_i) - Var(x_(i-1)))$
Si il valore atteso è zero. Per la varianza ricorda che date due variabili casuali indipendenti vale $Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)$
"marco_reus":
4. E come si fa a vedere se tali distribuzioni sono normali una volta trovata la varianza e la media?
Non c'entrano media e varianza. La combinazione lineare di variabili normali è una normale a sua volta. E' una proprietà della normale.
6. OK
8b. direi OK
8a. Dipende. Se consideri diversi anche i letti in ogni camera allora sarei d'accordo.
Se invece non ci interessa come si dispongono in camera, ma solo la camera assegnata, allora devi rivedere il conto.
8c. Dipende dalla scelta fatta nell'8a. Pur restando sulla tua interpretazione (letti diversi) non mi torna quel 12.
Se metti tre alzatori nella stessa camera, quindi $3!$ modi, poi hai $5!$ modi di disporre gli schiacciatori nelle altre camere..
"marco_reus":
O sbaglio ad interpretare il testo e il testo in realtà dice di considerare solo i casi in cui UN SOLO alzatore divida la stanza con almeno uno schiacciatore?
In effetti la domanda non mi sembra chiara.
Ad esempio il caso |SSS|SSA|AA| è da considerare tra i favorevoli o no ?
"cenzo":
[quote="marco_reus"]3. $ sum_(i = 2)^(n)(Var( x_i - x_(i-1))) = sum_(i = 2)^(n)(Var(x_i) - Var(x_(i-1)))$
Si il valore atteso è zero. Per la varianza ricorda che date due variabili casuali indipendenti vale $Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)$
"marco_reus":
4. E come si fa a vedere se tali distribuzioni sono normali una volta trovata la varianza e la media?
Non c'entrano media e varianza. La combinazione lineare di variabili normali è una normale a sua volta. E' una proprietà della normale.
6. OK
8b. direi OK
8a. Dipende. Se consideri diversi anche i letti in ogni camera allora sarei d'accordo.
Se invece non ci interessa come si dispongono in camera, ma solo la camera assegnata, allora devi rivedere il conto.
8c. Dipende dalla scelta fatta nell'8a. Pur restando sulla tua interpretazione (letti diversi) non mi torna quel 12.
Se metti tre alzatori nella stessa camera, quindi $3!$ modi, poi hai $5!$ modi di disporre gli schiacciatori nelle altre camere..
"marco_reus":
O sbaglio ad interpretare il testo e il testo in realtà dice di considerare solo i casi in cui UN SOLO alzatore divida la stanza con almeno uno schiacciatore?
In effetti la domanda non mi sembra chiara.
Ad esempio il caso |SSS|SSA|AA| è da considerare tra i favorevoli o no ?[/quote]
Grazie per la risposta innanzitutto.
3. quindi verrebbe $ sum_(i = 2)^(n)(Var(x_i) - Var(x_(i-1))) = sum_(i = 2)^(n)(sigma^2 + sigma^2) = 2(n-1)sigma^2 $
Giusto?
8a se non considerassi i letti in camera, allora come verrebbero i casi faverevoli? Non capisco.
8c considerando "letti diversi", e avendo 3! come disposizione degli alzatori, come si farebbe ad "abbinare" il suddetto 3! al 5! per ottenere tutti i casi possibili in cui gli alzatori sono in stanza da soli con le 5! disposizioni degli schiacciatori? Mi sfugge questo passaggio.
EDIT: ho tentato questa soluzione: per ogni 3! distribuzione (2 triple) le moltiplico per 5! (120), quindi i casi risulterebbero: $ 6*120 + 6*120 = 1440 $
Perciò la probabilità cercata sarebbe: $ 1 - 1440/40320 = 0.964 $
Grazie ancora.
"marco_reus":
8a se non considerassi i letti in camera, allora come verrebbero i casi faverevoli? Non capisco.
Bisogna fare un prodotto di combinazioni.
[Scegliamo 3 dagli 8 da mettere in una tripla] * [scegliamo 3 dai rimanenti 5 da mettere nell'altra tripla]
(va da sè che i rimanenti 2 hanno un solo modo di andare nella doppia)
oppure (non cambia nulla):
[Scegliamo 2 dagli 8 da mettere nella doppia] * [scegliamo 3 dai rimanenti 6 da mettere nella tripla]
Col resto sono d'accordo.
Prego, ciao.
"cenzo":
[quote="marco_reus"]8a se non considerassi i letti in camera, allora come verrebbero i casi faverevoli? Non capisco.
Bisogna fare un prodotto di combinazioni.
[Scegliamo 3 dagli 8 da mettere in una tripla] * [scegliamo 3 dai rimanenti 5 da mettere nell'altra tripla]
(va da sè che i rimanenti 2 hanno un solo modo di andare nella doppia)
oppure (non cambia nulla):
[Scegliamo 2 dagli 8 da mettere nella doppia] * [scegliamo 3 dai rimanenti 6 da mettere nella tripla]
Col resto sono d'accordo.
Prego, ciao.[/quote]
Quindi i casi possibili quanto sarebbero? Scusa ma stavolta non ti seguo. I casi possibili nel caso in cui gli 8 giocatori si dispongano nelle camere non tenendo conto dell'ordine dei letti (senza contare alzatori e schiacciatori) come si calcolerebbero? Grazie.
"cenzo":
Bisogna fare un prodotto di combinazioni.
[Scegliamo 3 dagli 8 da mettere in una tripla] * [scegliamo 3 dai rimanenti 5 da mettere nell'altra tripla]
(va da sè che i rimanenti 2 hanno un solo modo di andare nella doppia)
oppure (non cambia nulla):
[Scegliamo 2 dagli 8 da mettere nella doppia] * [scegliamo 3 dai rimanenti 6 da mettere nella tripla]
$((8),(3))*((5),(3))$ oppure $((8),(2))*((6),(3))$, sempre 560.
"cenzo":
[quote="cenzo"]Bisogna fare un prodotto di combinazioni.
[Scegliamo 3 dagli 8 da mettere in una tripla] * [scegliamo 3 dai rimanenti 5 da mettere nell'altra tripla]
(va da sè che i rimanenti 2 hanno un solo modo di andare nella doppia)
oppure (non cambia nulla):
[Scegliamo 2 dagli 8 da mettere nella doppia] * [scegliamo 3 dai rimanenti 6 da mettere nella tripla]
$((8),(3))*((5),(3))$ oppure $((8),(2))*((6),(3))$, sempre 560.[/quote]
Grazie mille. Quindi il punto c) verrebbero i casi favorevoli: $ 1*((5),(3))*((2),(2)) + 1*((5),(3))((2),(2)) = 10 + 10 = 20 $ (ho fatto 1 che è la disposizione di AAA in una tripla moltiplicato per i 5 schiacciatori disposti nella tripla e poi i restanti 2 ovviamente viene 1)
Quindi la probabilità cercata sarebbe: $ 1 - 20/560 = 0,964 $
Che è la stessa di quella trovata se consideriamo l'ordine dei letti. Tutto ok no?
"marco_reus":
Che è la stessa di quella trovata se consideriamo l'ordine dei letti. Tutto ok no?
Non mi quadra qualcosa.
Immagina che un alzatore sia al letto 1 (stanza da 3 letti), quanti sono i casi sfavorevoli ?
[123] = Alzatori
[45678] = Saltatori
[123] [XXXXX]
[132] [XXXXX]
Quindi: $2*(5!) = 240$
Puoi continuare cosi' per il letto 2, 3, 4, 5, 6
Per il letto 7 ed 8 (stanza da due letti), il calcolo è leggermente diverso... continua...
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