Probabilità di un guasto al variare degli anni
Ipotizziamo di avere un computer che ogni hanno abbia una certa probabilità di guastarsi $p$. Vorrei sapere qual'è la probabilità che si guasti durante un generico anno $n$.
Il ragionamento che ho fatto io è che ogni anno la probabilità di un guasto aumenti di una quantità $p$, perciò questa probabilità sarà: $p_n=np$
Questo ragionamento è giusto? I dubbi però mi vengono dal fatto che passati un certo numero di anni $p_n$ diventi inevitabilmente maggiore di 1, cosa che dovrebbe dare una certezza del 100% che il guasto avvenga in quell'anno. Questo non mi sembra tanto logico, piuttosto mi aspetterei che questa probabilità dopo un numero infinito di anni tenda a 1, e quindi che ci sia sempre una qualche probabilità che il computer non si guasti, anche se piccola.
Voi che dite?
Il ragionamento che ho fatto io è che ogni anno la probabilità di un guasto aumenti di una quantità $p$, perciò questa probabilità sarà: $p_n=np$
Questo ragionamento è giusto? I dubbi però mi vengono dal fatto che passati un certo numero di anni $p_n$ diventi inevitabilmente maggiore di 1, cosa che dovrebbe dare una certezza del 100% che il guasto avvenga in quell'anno. Questo non mi sembra tanto logico, piuttosto mi aspetterei che questa probabilità dopo un numero infinito di anni tenda a 1, e quindi che ci sia sempre una qualche probabilità che il computer non si guasti, anche se piccola.
Voi che dite?
Risposte
"Emanuele09":
Ipotizziamo di avere un computer che ogni hanno abbia una certa probabilità di guastarsi $p$. Vorrei sapere qual'è la probabilità che si guasti durante un generico anno $n$.
Hai appena detto che è $p$, no? Se il computer non si era già guastato prima.
"Emanuele09":
Il ragionamento che ho fatto io è che ogni anno la probabilità di un guasto aumenti di una quantità $p$, perciò questa probabilità sarà: $p_n=np$
Questo ragionamento è giusto? I dubbi però mi vengono dal fatto che passati un certo numero di anni $p_n$ diventi inevitabilmente maggiore di 1, cosa che dovrebbe dare una certezza del 100% che il guasto avvenga in quell'anno. Questo non mi sembra tanto logico, piuttosto mi aspetterei che questa probabilità dopo un numero infinito di anni tenda a 1
La probabilità di cosa? Di un guasto in quell'anno? Ma avevi detto che era $p$.
La probabilità di un guasto _entro_ la fine di quell'anno tende a 1, se $p>0$.
Per guastarsi nell'anno $n$, il computer deve _non_ essersi guastato $n-1$ anni di fila poi guastarsi.
Quindi la probabilità di guastarsi esattamente nell'anno $n$ è $(1-p)^{n-1}p$.
La probabilità di guastarsi entro la fine dell'anno $n$ è $1-(1-p)^n$. E questo tende a 1 se $p>0$.
Per evitare ulteriori equivoci riporto il testo originale da cui ho tratto la domanda:
Ho pensato che se un computer ha una certa probabilità di guastarsi ogni anno, nel caso in cui non avvengono guasti per $(n-1)$ anni ci deve essere una probabilità maggiore di $p$ che il computer si guasti l'anno $n$. Quindi era questa la probabilità al centro del mio discorso, spero di essere stato più chiaro.
Invece non riesco a capire queste due cose che hai scritto:
Questa ultima formula la ho interpretata come la probabilità di non guastarsi per $(n-1)$ anni di fila per poi guastarsi l'anno $n$.
Quest'altra formula mi sembra la probabilità di guastarsi per $n$ anni di fila. Cioè se $(1-p)^n$ è la probabilità di non guastarsi per $n$ anni di fila, allora $1-(1-p)^n$ dovrebbe essere la probabilità contraria, ovvero quella di guastarsi per $n$ anni di fila. Correggimi se sbaglio.
E poi cosa intendi con
e con
Non è la stessa identica cosa? Perché gli associ due probabilità diverse?
La Scuola Sant’Anna ha comprato alcuni computer che, una volta installati e messi in funzione, hanno una probabilità $p$ di guastarsi (irrimediabilmente) per ogni anno.
Ho pensato che se un computer ha una certa probabilità di guastarsi ogni anno, nel caso in cui non avvengono guasti per $(n-1)$ anni ci deve essere una probabilità maggiore di $p$ che il computer si guasti l'anno $n$. Quindi era questa la probabilità al centro del mio discorso, spero di essere stato più chiaro.
Invece non riesco a capire queste due cose che hai scritto:
Quindi la probabilità di guastarsi esattamente nell'anno $n$ è $(1−p)^(n−1)p$.
Questa ultima formula la ho interpretata come la probabilità di non guastarsi per $(n-1)$ anni di fila per poi guastarsi l'anno $n$.
La probabilità di guastarsi entro la fine dell'anno $n$ è $1−(1−p)^n$. E questo tende a 1 se $p>0$.
Quest'altra formula mi sembra la probabilità di guastarsi per $n$ anni di fila. Cioè se $(1-p)^n$ è la probabilità di non guastarsi per $n$ anni di fila, allora $1-(1-p)^n$ dovrebbe essere la probabilità contraria, ovvero quella di guastarsi per $n$ anni di fila. Correggimi se sbaglio.
E poi cosa intendi con
la probabilità di guastarsi esattamente nell'anno $n$
e con
La probabilità di guastarsi entro la fine dell'anno $n$
Non è la stessa identica cosa? Perché gli associ due probabilità diverse?
Con "entro la fine dell'anno $n$" intendo "durante l'anno 1 o 2 o 3 o ... o $n$"
E sospetto che un computer guasto non si riprende. In particolare adesso che vedo "irrimediabilmente" nel testo originale. Quindi non può guastarsi più di una volta. E per guastarsi nell'anno $n$ deve ancora _esistere_ alla fine dell'anno $n-1$.
E sospetto che un computer guasto non si riprende. In particolare adesso che vedo "irrimediabilmente" nel testo originale. Quindi non può guastarsi più di una volta. E per guastarsi nell'anno $n$ deve ancora _esistere_ alla fine dell'anno $n-1$.
"Emanuele09":
Quindi la probabilità di guastarsi esattamente nell'anno $n$ è $(1−p)^(n−1)p$.
Questa ultima formula la ho interpretata come la probabilità di non guastarsi per $(n-1)$ anni di fila per poi guastarsi l'anno $n$.
Sì. Se si guasta prima dell'anno $n$ non è presente per potersi guastare nell'anno $n$.
"Emanuele09":
La probabilità di guastarsi entro la fine dell'anno $n$ è $1−(1−p)^n$. E questo tende a 1 se $p>0$.
Quest'altra formula mi sembra la probabilità di guastarsi per $n$ anni di fila. Cioè se $(1-p)^n$ è la probabilità di non guastarsi per $n$ anni di fila, allora $1-(1-p)^n$ dovrebbe essere la probabilità contraria, ovvero quella di guastarsi per $n$ anni di fila. Correggimi se sbaglio.
Un computer non può guastarsi più di una volta. E se potesse farlo la probabilità di guastarsi $n$ anni di fila sarebbe $p^n$.
Scusa ma non ho ancora capito la probabilità che il computer si guasti in un anno $n$ sapendo che non si è guastato per $(n-1)$ anni. La stessa di cui parlo qui:
"Emanuele09":
Ho pensato che se un computer ha una certa probabilità di guastarsi ogni anno, nel caso in cui non avvengono guasti per (n−1) anni ci deve essere una probabilità maggiore di p che il computer si guasti l'anno n. Quindi era questa la probabilità al centro del mio discorso, spero di essere stato più chiaro.
Ma non può essere così. Come hai detto giustamente prima, dopo tanti anni, la probabilità complessiva di un guasto sarebbe maggiore di 1. Sono ragionevolmente sicuro che l'esercizio sia come sto dicendo io.
"Emanuele09":
Ho pensato che se un computer ha una certa probabilità di guastarsi ogni anno, nel caso in cui non avvengono guasti per (n−1) anni ci deve essere una probabilità maggiore di p che il computer si guasti l'anno n. Quindi era questa la probabilità al centro del mio discorso, spero di essere stato più chiaro.
No,
il problema è proprio questo,
lo hai scritto te all'inizio.
"Emanuele09":
Ipotizziamo di avere un computer che ogni hanno abbia una certa probabilità di guastarsi $p$.
La probabilità che si guasti è sempre $p$.
L'esercizio di cui parlo è il primo di questo pdf: https://www.santannapisa.it/sites/default/files/matematica19-20.pdf
Quindi se i computer A e B hanno sempre ogni anno una probabilità uguale a $p$ (e quindi non dipendente dal numero di anni trascorsi) di guastarsi, la domanda $a)$ non avrebbe ragione di esistere, o sbaglio?
Quindi se i computer A e B hanno sempre ogni anno una probabilità uguale a $p$ (e quindi non dipendente dal numero di anni trascorsi) di guastarsi, la domanda $a)$ non avrebbe ragione di esistere, o sbaglio?
"Emanuele09":
L'esercizio di cui parlo è il primo di questo pdf: https://www.santannapisa.it/sites/default/files/matematica19-20.pdf
Quindi se i computer A e B hanno sempre ogni anno una probabilità uguale a $p$ (e quindi non dipendente dal numero di anni trascorsi) di guastarsi, la domanda $a)$ non avrebbe ragione di esistere, o sbaglio?
Un computer può guastarsi solamente se non è già guasto. Nel quesito c'è un "se funzionava all'inizio di quell'anno" implicito. Se il computer si guasta nel primo anno, la sua probabilità di guastarsi è 0 per tutti gli anni successivi perché è già guasto.
"Emanuele09":
Scusa ma non ho ancora capito la probabilità che il computer si guasti in un anno $n$ sapendo che non si è guastato per $(n-1)$ anni.
$p$
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