Probabilità di "incontro"

[.Ruben.17]

Due persone si danno appuntamento in una data località fra le ore 12
e le 13. Ciascuno sceglie in modo casuale (uniforme) ed indipendente dall’altro il momento del suo
arrivo nell’intervallo prefissato. Trascorso un certo tempo t (comune ad entrambi) di attesa
infruttuosa dall’arrivo se ne vanno.
Si determini la probabilità di incontrarsi se t = 10 minuti.

Potrei gentilmente sapere se la mia soluzione(in spoiler) è corretta?

Chiamo le due persone x e y.
La probabilità di incontrarsi non cambia in base alla persona che arriva prima, quindi, chiamando $P_{x}$ la probabilità di incontrarsi quando x arriva per primo,
$P=P_{x} + P_{y}=2P_{x}$

Ora ragiono considerando il momento di arrivo di x come una variabile continua.

$x$ varia da $0$ a $1$ (l'unità di misura è l'ora)

$a = t/60$, con t in minuti, quindi a è un parametro reale e varia da $0$ a $1$

Ma, per $x$ che va da $0$ a $(1-a)$, in ogni intervallo infinitesimo di $x$ la probabilità che $y$ si presenti entro un tempo a (in ore) è
$p_{0
Per cui, per x che varia da $0$ a $(1-a)$, la probabilità è:
$P_{1}=\int_{0}^{1-a}adx=a(1-a)$

Per x che va da (1-a) a 1, in ogni intervallo infinitesimo di $x$, la y non può più presentarsi in un tempo a, ma deve necessariamente presentarsi in un tempo(1-x)
Per cui, per x che varia da $(1-a)$ a $1$, la probabilità è:
$P_{2}=\int_{1-a}^{1}(1-x)dx=a^2 /2$

Quindi:
$P_{x}=P_{1}+P_{2}=a-a^2 /2$
$P=2P_{x}=2a-a^2$

se $t = 10$ allora $a = 1/6$ e
$P=1/3-1/36=11/36$

[Lo_zio_Tom]

Il risultato è giusto quindi immagino anche il procedimento anche se non l'ho guardato.
Si può risolvere davvero in modo semplice in maniera geometrica.
I casi possibili sono l'area del quadrato di lato $[0; 1] $ mentre i casi favorevoli sono l'area dell'esagono formato dalle rette $ y=x+-1/6$ con il suddetto quadrato:

$1-(5/6)^2=11/36$

Ciao

[.Ruben.17]

Molto furbo il tuo metodo!
Grazie mille!

Qualcuno potrebbe cortesemente controllare anche il mio procedimento?

[consec]

Ho una possibile soluzione, ma non so se sia totalmente corretta, qualcuno può prendersi la briga di controllarla?

Innanzitutto mi scuso per il linguaggio poco preciso, ma non sapevo come rendere "matematicamente" l'impostazione del problema così come l'ho affrontato.
Ho considerato l'ora di cui parla il problema come una retta divisa in $60$ intervalli ognuno di "lunghezza" un minuto. Ognuna delle persone può arrivare in un momento casuale (vale a dire apparire in un intervallo della retta) e aspetterà $t=10$ (ossia può vedere fino a $10$ intervalli in avanti). Per simmetria la probabilità che persona $x$ arriva e vede persona $y$ e viceversa sono uguali (ho trascurato l'evento che i due arrivino contemporaneamente, in quanto quasi nullo, specialmente in seguito).
Per un $t$ generico, esistono $60-t$ caselle (che possono essere scelte con probabilità $((60-t)/60)$) tali che permettano che tutti i minuti di attesa siano validi (per $t=10$ ci sono $50$ intervallini tali che intervallino+10 cada ancora nell'ora, ossia in $60$, ricordando che ogni intervallino rappresenta un minuto di quest'ora). Le due persone si vedranno quindi se l'altro sceglierà di arrivare in una delle $t$ caselle, cosa che accade con probabilità $t/60$. Ci saranno poi $t$ intervallini tali che non tutto il tempo sia "spendibile" per l'attesa (per $t=53$, ad esempio, nonostante il $t=10$ fornito dal problema, solo $t=7$ sono da considerare, perché al loro termine l'ora a disposizione scade). Esiste quindi un intervallino ($1/60$) tale che l'altra persona dovrà arrivare in una tra $t-1$ caselle ($(t-1)/60$) affinché si vedano, un altro intervallino (sempre $1/60$) che implica che le possibili opzioni si riducano a $t-2$ intervallini ($(t-2)/60$) affinché gli amici si incontrino, e così via fino a discutere tutti i $t$ intervallini esclusi dal primo caso. Ho quindi scritto la formula della probabilità dal punto di vista di una delle due persone e poi l'ho raddoppiata. Quindi, suddividendo la retta del tempo in $60$ intervalli, la formula è:

$P(t)= 2(((60-t)*t)/(60*60))+((1*(t-1))/(60*60))+((1*(t-2))/(60*60))+((1*(t-3))/(60*60))+...+(1*1)/(60*60))$

Che può essere riscritta come:

$P(t)= 2((((60-t)*t)/(60)^2)+(((t-1)*t)/(2*(60)^2)))$

Dove ho usato la formula della sommatoria dei primi numeri naturali da $1$ a $t-1$.
Inserendo $t=10$ nella formula, il risultato è $0.30277777777$, abbastanza lontano da $11/36$, $0.30555555555$ in decimali.
Ho quindi continuato con questo approccio, "frazionando" la retta del tempo in $3600$ secondi, trasformando $t=10$ minuti in $t=600$ secondi. La formula diventa quindi

$P(t)= 2((((3600-t)*t)/(3600)^2)+(((t-1)*t)/(2*(3600)^2)))$

E il risultato è $0.30828703703$

Reiterando il procedimento, suddividendo l'arco temporale in $7200$ intervallini di metà secondo, dalla formula esce come probabilità $0.3055324074$. Volendosi spingere oltre, abbiamo risultati più apprezzabili per accuratezza con $115200$ trentaduesimi di secondo, e $t=10$ minuti convertito in $t=19200$ trentaduesimi di secondo. La formula infatti in questo caso restituisce $0.30555410879$, e le prime cinque cifre decimali coincidono.

$P(t)= 2((((115200-19200)*19200)/(115200)^2)+(((19200-1)*19200)/(2*(115200)^2)))=0.30555410879$

È lecito, quindi, ammettere che per un numero infinito di intervallini il mio procedimento è giusto, e il calcolo della probabilità si avvicina indefinitamente a $11/36$?

EDIT: va be' scusate la stupidità, bastava impostare il limite, considerando $t=x/6$
$\lim_{x \to \+infty} 2((((x-x/6)*x/6)/x^2)+(((x/6-1)*x/6)/(2*x^2)))$
Sviluppandolo si arriva a
$\lim_{x \to \+infty} (11/6x-1)/(6x)$
Al che, applicando De L'Hopital, si trova che il limite è uguale a $11/36$

[Lo_zio_Tom]

Premesso che il problema è banale, si risolve sempre nello stesso modo, ovvero valutando la densità di probabilità congiunta sull'evento di interesse. Dato che le variabili sono indipendenti e distribuite uniformemente in $[0,1] $, la densità congiunta è 1 sul quadrato di lato $[0; 1] $. L'evento di interesse è $|x-y|<1/6$.

Quindi in generale basta fare:

$ int int_(D) f (x, y) dxdy=intint_(|x-y|<1/6) dxdy $


Dato che l'integranda è 1 il valore dell'integrale coincide con l'area del dominio di integrazione, ovvero con l'area dell'esagono che vi ho indicato nel mio post precedente:





Benché tutti i risultati trovati coincidono faccio veramente fatica a capire la ratio di questi ragionamenti contorti per risolvere un problema standard.

Provate infatti a modificare il testo in questo modo:

"due amici si devono incontrare dopo la mezzanotte in un determinato luogo. Il loro arrivo è indipendente e segue una legge di Poisson di parametro 1 (un arrivo all'ora). Sapendo che il primo che arriva all'appuntamento aspetta 10 minuti e poi se ne va, calcolare la probabilità che i due amici si incontrino"


Con il metodo che vi ho indicato si risolve abbastanza facilmente [$p~= 0.15$]...con i metodi che suggerite voi come fareste?


saluti

[.Ruben.17]

Il mio ragionamento era contorto perchè sto al liceo e non ho studiato le distribuzioni..

[Lo_zio_Tom]

scusa non voleva essere una critica....ho visto in topic precedenti che hai affrontato temi "non da superiori" e non ho fatto caso che fossi al liceo...peraltro io non faccio l'insegnante quindi....siamo pari

[.Ruben.17]

Non preoccuparti!

[consec]

"tommik":

Benché tutti i risultati trovati coincidono faccio veramente fatica a capire la ratio di questi ragionamenti contorti per risolvere un problema standard.

Sono al liceo e faccio fatica a seguire la tua soluzione, quindi me ne sono inventata una mia