Probabilità di interazione e cammino libero medio

[TS778LB]

Consideriamo una particella che attraversa una bersaglio di spessore finito.
Indichiamo con $P(x)$ la probabilità di non avere interazione dopo una distanza $x$
e con $wdx$ la probabilità di avere un'interazione tra $x$ ed $x+dx$.
La probabilità di non avere interazione dopo una distanza $x+dx$ sarà esprimibile, con il teorema della probabilità composta, come prodotto tra la probabilità di non avere interazioni fino ad $x$ e la probabilità di non avere interazione tra $x$ ed $x+dx$:
$P(x+dx)=P(x)(1-wdx)$
Con opportune riformulazioni della relazione precedente, si perviene all'equazione differenziale
$dP(x)=-wP(x)dx$
la cui soluzione, dopo aver determinato il valore della costante, è
$P(x)=e^{-wx}$
La probabilità di interazione nella distanza $x$ rappresenta l'evento complementare alla non interazione. Quindi:
$P_{i}(x)=1-e^{-wx}$
La probabilità di interagire tra $x$ ed $x+dx$ dopo non aver interagito fino ad $x$ vale
$P(x)wdx$
Il mio testo di riferimento (Leo-Techniques for nuclear and particle physics experiments) indica questa probabilità con $F(x)dx$.
Perchè c'è quel $dx$?
Il cammino libero medio $lambda$ rappresenta il valor medio della variabile $x$. Il testo lo esprime come
$\lambda=\frac{\intxP(x)dx}{\intP(x)dx}$
Come se $P(x)$ fosse una distribuzione di densità di probabilità. Questo però non mi torna perchè $P(x)=e^{-wx}$ è adimesionale e non può quindi rappresentare una densità di probabilità. Non saprei dunque $P(x)dx$ che significato possa assumere.

[Quinzio]

"TS778LB":
Il cammino libero medio $lambda$ rappresenta il valor medio della variabile $x$. Il testo lo esprime come
$\lambda=\frac{\intxP(x)dx}{\intP(x)dx}$
Come se $P(x)$ fosse una distribuzione di densità di probabilità. Questo però non mi torna perchè $P(x)=e^{-wx}$ è adimesionale e non può quindi rappresentare una densità di probabilità. Non saprei dunque $P(x)dx$ che significato possa assumere.

Il valore atteso dovrebbe essere questo $\lambda=\frac{\int x P'(x) dx}{\int P'(x)dx}$

dove $P'(x)= (dP(x))/(dx) = (-w)(-e^{-wx}) = -w P(x)$.

L'integrale al denominatore da ovviamente $1$.

Ora se sostituisco $P'(x)$ nella formula di $\lambda$ ho:

$\lambda=\frac{\int x (-w P(x)) dx}{\int (-w P(x))dx}$.

I due fattori $-w$ si elidono e rimane appunto $\lambda=\frac{\int x P(x) dx}{\int P(x)dx}$.

Quindi non si puo' dire che sia scorretta quella formula, ma e' sicuro che vale solo per alcune distrubuzioni.
Non vale in generale.
Forse non volevano introdurre altre variabili e volevano per forza usare $P(x)$ nella formula.
Per quel che riguarda le dimensioni, l'importante e' che alla fine $\lambda$ sia una lunghezza.
I passaggi intermedi sono quel che sono, non mi fisserei su questo punto.

Il mio testo di riferimento (Leo-Techniques for nuclear and particle physics experiments) indica questa probabilità con $F(x)dx$.
Perchè c'è quel $dx$?

E $F(x)$ cos'e'?