Probabilità dell'intersezione
Buon pomeriggio. Sto facendo dei ragionamenti sul calcolo delle probabilità, ma ho un dubbio dal quale non riesco a venire a capo. Faccio due esempi.
1) Lancio due dadi. Voglio calcolare la probabilità che escano un numero pari e un numero maggiore o uguale a 3.
Definisco gli eventi A e B:
\(\displaystyle A=\{2, 4, 6\} \) ("esce un numero pari")
\(\displaystyle B=\{3, 4, 5, 6\} \) ("esce un numero maggiore o uguale a 3")
\(\displaystyle A \cap B=\{4, 6\} \) ("escono un numero pari e un numero maggiore o uguale a 3")
I due eventi A e B sono indipendenti. Applico le proprietà per calcolare la probabilità dell'evento intersezione:
\(\displaystyle P(A)=3/6 \)
\(\displaystyle P(B)=4/6 \)
\(\displaystyle P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=3/6 \cdot 4/6=1/3 \)
2) Lancio un dado e una moneta. Voglio calcolare la probabilità che escano un numero pari e testa.
Come sopra, definisco gli eventi A e B:
\(\displaystyle A=\{2, 4, 6\} \)
\(\displaystyle B=\{T\} \)
Gli eventi sono ancora indipendenti, quindi:
\(\displaystyle P(A)=3/6 \)
\(\displaystyle P(B)=1/2 \)
Da un punto di vista degli insiemi, A e B non hanno elementi in comune. Quindi, in teoria, la loro intersezione sarebbe un insieme nullo. Tuttavia, se non sbaglio, la probabilità che escano un numero pari e testa vale:
\(\displaystyle P(A) \cdot P(B)=3/6 \cdot 1/2=1/4 \)
Questa regola è la stessa che ho applicato nell'esempio 1, dove avevo la possibilità di definire un'intersezione, ma perché continua a valere anche nell'esempio 2, in cui un'intersezione sembra non esserci?
Non riesco a trovare il baco in questo mio ragionamento.
Potreste aiutarmi?
Grazie
1) Lancio due dadi. Voglio calcolare la probabilità che escano un numero pari e un numero maggiore o uguale a 3.
Definisco gli eventi A e B:
\(\displaystyle A=\{2, 4, 6\} \) ("esce un numero pari")
\(\displaystyle B=\{3, 4, 5, 6\} \) ("esce un numero maggiore o uguale a 3")
\(\displaystyle A \cap B=\{4, 6\} \) ("escono un numero pari e un numero maggiore o uguale a 3")
I due eventi A e B sono indipendenti. Applico le proprietà per calcolare la probabilità dell'evento intersezione:
\(\displaystyle P(A)=3/6 \)
\(\displaystyle P(B)=4/6 \)
\(\displaystyle P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=3/6 \cdot 4/6=1/3 \)
2) Lancio un dado e una moneta. Voglio calcolare la probabilità che escano un numero pari e testa.
Come sopra, definisco gli eventi A e B:
\(\displaystyle A=\{2, 4, 6\} \)
\(\displaystyle B=\{T\} \)
Gli eventi sono ancora indipendenti, quindi:
\(\displaystyle P(A)=3/6 \)
\(\displaystyle P(B)=1/2 \)
Da un punto di vista degli insiemi, A e B non hanno elementi in comune. Quindi, in teoria, la loro intersezione sarebbe un insieme nullo. Tuttavia, se non sbaglio, la probabilità che escano un numero pari e testa vale:
\(\displaystyle P(A) \cdot P(B)=3/6 \cdot 1/2=1/4 \)
Questa regola è la stessa che ho applicato nell'esempio 1, dove avevo la possibilità di definire un'intersezione, ma perché continua a valere anche nell'esempio 2, in cui un'intersezione sembra non esserci?
Non riesco a trovare il baco in questo mio ragionamento.
Potreste aiutarmi?
Grazie
Risposte
"domenico127":
Buon pomeriggio....
Non riesco a trovare il baco in questo mio ragionamento.
ciò è grave...ma rimediamo subito.
L'errore è il seguente:
Lo spazio campionario dell'esperimento è
$Omega={(1;T),(2;T),(3;T),....,(6;C)}$
ed è formato da 12 eventi elementari equiprobabili.
Gli eventi favorevoli sono 3: ${(2;T),(4T),(6T)}$
....risultato, casi favorevoli diviso casi possibili (con un rapido calcolo anche senza usare il compiuter )
$3/12=1/4$
Nella prima domanda, non dice che il numero pari deve essere sul primo dado e il numero maggiore o uguale a tre sul secondo. Andrebbe bene \(3, 2\)? Ci sono un numero pari e un numero maggiore o uguale a tre.
"ghira":
Nella prima domanda, non dice che il numero pari deve essere sul primo dado e il numero maggiore o uguale a tre sul secondo. Andrebbe bene "3, 2"? Ci sono un numero pari e un numero maggiore o uguale a tre.
se avessi letto con attenzione la mia soluzione avresti anche capito la soluzione corretta del primo esempio[nota]faccio notare all'OP che gli eventi in questo caso NON sono indipendenti[/nota] [$5/9$].
PS: hai 29 messaggi, ti ricordo che dopo il 30-esimo è obbligatorio usare le [formule][/formule]. I messaggi non conformi li chiudo.
ciò è grave...
Ciao tommik. Grazie per la risposta. In realtà, non ho trovato la soluzione al mio dilemma.
Alla tua soluzione ero già pervenuto, tant'è che l'ho utilizzata come controprova per verificare che il risultato corretto fosse proprio $1/4$.
La mia domanda, senz'altro grave, rimane: perché ottengo questo stesso risultato moltiplicando \(\displaystyle P(A) \) e \(\displaystyle P(B) \), cioè utilizzando la regola del calcolo della probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti? È forse una coincidenza? Ci ragiono da giorni, mi sono inventato anche altri esempi in cui apparentemente un'intersezione non esiste (o meglio, è nulla), eppure per tutti sembra sempre che la probabilità dell'evento complessivo sia calcolabile come prodotto delle probabilità degli eventi singoli.
Andrebbe bene "3, 2"?
Sì.
"domenico127":
Buon pomeriggio. Sto facendo dei ragionamenti sul calcolo delle probabilità, ma ho un dubbio dal quale non riesco a venire a capo. Faccio due esempi.
1) Lancio due dadi. Voglio calcolare la probabilità che escano un numero pari e un numero maggiore o uguale a 3.
Visto (dalla tua risposta alla mia domanda precedente) che non ci importa su quali dadi appaiano questi numeri, possiamo o elencare le combinazioni "vincenti" e dividere per 36 (che va benissimo), o fare così: Chiamiamo i due dadi "primo" e "secondo".
Vogliamo \(\Pr(\text{pari su uno e} \ge 3 \text{ sull'altro})\) e questo è \(\Pr(\text{pari sul primo}, \ge 3 \text{ sul secondo}) + \Pr(\ge 3 \text{ sul primo, pari sul secondo}) - \Pr(\text{pari} \ge 3 \text{ su entrambi})\ = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{5}{9}\)
Dobbiamo sottrarre \(\frac{1}{9}\) perché altrimenti contiamo casi come \(4,4\) due volte.
Grazie, ma non è la risposta alla mia domanda.
Forse la risposta alla tua domanda è che "esce un numero pari" non è un sottoinsieme di \({1,2,3,4,5,6}\) ma di \((1,1), (1,2), \dots, (6,6)\) ?
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