Probabilità della distanza

[mobley]

Per fortuna che l'esame prevede la possibilità di scegliere tra diversi esercizi proposti perchè se capitano tutti così posso anche ritirarmi ora.

Si ha un rettangolo di lati $2$ e $3$. Si sceglie un punto a caso e si chiama $X$ la sua distanza perpendicolare dal lato più vicino.
Trovare la legge di probabilità di $X$ (consiglio: stabilire prima qual è il supporto di $X$).

Buio pesto, zero, nisba. Ho solo tracciato le due Uniformi (che sono $Z~ U(0,2)rArrf_Z(z)=1/2\mathbb(I)_([0
Vi chiedo se possibile solo dei suggerimenti per capire come impostare il problema (e magari problemi analoghi). Vorrei riuscire a risolverlo da solo. Grazie a tutti

[Lo_zio_Tom]

"mobley":se capitano tutti così posso anche ritirarmi ora.

Sono esercizi molto ma molto belli che si possono risolvere tranquillamente ed in pochi secondi ma solo avendo una buona base teorica sottostante (di Statistica ma anche di Matematica). Come detto più volte, secondo me hai approcciato malissimo lo studio di questa disciplina, cercando di schematizzare il tutto all'applicazione di formulari noti e partendo da una base teorica che definire "fragile e lacunosa" è già una sovrastima.
La Statistica è esattamente l'opposto di ciò che stai facendo tu....è una disciplina di Problem Solving, dove l'apporto logico e di ragionamento ne costituiscono la parte preponderante.

Complimenti comunque a chi pensa questi esercizietti di stretching per i neuroni

"mobley":
... in quanto dominio rettangolare e quindi indipendenti.

Consiglio: non scrivere mai una fesseria come quella che ho citato ad un esame perché saresti bocciato senza nemmeno passare dal via. Il dominio rettangolare è condizione necessaria ma non sufficiente per l'indipendenza. In altre parole le variabili sono indipendenti e ciò lo si capisce dalla traccia; data l'indipendenza ovviamente il dominio non può che essere rettangolare ma potrebbe essere tranquillamente rettangolare e le variabili non indipendenti.
Tra l'altro stabilire le marginali non serve proprio a niente né tantomeno serve sapere qualche cosa circa la loro dipendenza. Il testo parte già dicendo che si sceglie un punto casualmente in un rettangolo...quindi la congiunta è il reciproco dell'area del rettangolo...

Tornando al problema (che è praticamente impossibile da risolvere senza il grafico)
... fai il disegnino; utilizzo per il grafico i dati che hai usato tu per gli assi Y e Z mentre X diventa il parametro, ovvero la funzione di distanza cercata: $x in [0;1]$




Spiegazione completa e dettagliata

la distanza cercata l'ho indicata con le frecce rosse ed ovviamente la CDF è l'area viola....moltiplicata, come sempre, per la densità congiunta $f(y,z)=1/6$ e dunque per caratterizzarla è sufficiente fare "area del rettangolo esterno meno area del rettangolo interno". Per capire come la distanza sia definita da questa funzione basta osservare, ad esempio, che

1) se scegliamo un punto (a caso) nel triangolo di sinistra la distanza è il segmento orizzontale tra il punto ed il lato sinistro del rettangolo; in altri termini la distanza è proprio $X=y$ cioè il valore di ascissa del punto scelto,

2) se scegliamo un punto (a caso) nel trapezio isoscele in basso la distanza è il segmento verticale tra il punto e la base del rettangolo; in altri termini la distanza è proprio $X=z$ cioè il valore di ordiinata del punto scelto,

3) ecc ecc

In definitiva la CDF è questa

$F_X(x)=(6-(3-2x)(2-2x))/6=(5x-2x^2)/3$

Scritta per bene viene

$F_X(x)=(5x-2x^2)/3mathbb{1}_([0;1))(x)+mathbb{1}_([1;+oo))(x)$

al variare di $X$ nel suo supporto $x in [0;1]$, quando $X rarr 0$ l'area viola tende ad essere zero (il rettangolo interno bianco tende a quello esterno) mentre al tendere di $X rarr 1$ il rettangolo bianco interno tende ad essere nullo

Ed ecco anche il grafico della Funzione di Distibuzione della distanza cercata:

[mobley]

@tommik Che dire… Non ci sarei mai arrivato. Prima di tutto a capire di dover scomporre il rettangolo in due triangoli isosceli e due trapezi isosceli. Secondo, a proiettare la distanza $X$ verso l'asse delle ascisse e verso la base superiore del rettangolo in modo tale che l'intersezione tra la proiezione e i lati obliqui del triangolo isoscele formasse due segmenti sull'asse delle ordinate di lunghezza sempre pari a $X$. Terzo, ad osservare che tale lunghezza coincidesse proprio con $X$ per il fatto che il triangolo è isoscele. Quarto, a capire che in realtà la legge di $X$ era l'area della cornice. Una volta capito tutto questo trovare la ripartizione di $X$ è banale, quindi poco centra con una presunta scarsa preparazione matematica. La soluzione di questo problema (credo converrai con me, oggettivamente di non immediata risoluzione) era di logica pura, purtroppo.

Ora ti chiedo: dinanzi a problemi simili conviene sempre scomporre il dominio in figure geometriche "interne" e cercare di ragionare su queste? Ad es. un'altra scomposizione possibile poteva essere un 6 quadrati di lato 1...

[mobley]

Evidentemente mi sono spiegato male. Intendevo dire che, potenzialmente, un'altra scomposizione possibile era di suddividere il rettangolo in 6 quadrati 1x1, non che fosse questo il caso.