Probabilità della differenza di una V.C. Gaussiana al quadrato

[mefisto18]

Buongiorno,
posto qui un esercizio che mi ha dato qualche difficoltà.
siano date due v.c. indipendenti X e Y distribuite secondo una normale di media 1 e varianza 1
calcolare la probabilità che
\(\displaystyle P((X-Y)^2> 2) \)

quindi:
considerando che X e Y sono indipendenti ho definito Z=X-Y anch'essa indipendente di media 0 e varianza 2.
quindi
\(\displaystyle P(Z*Z> 2) \)
La mia domanda è posso calcolare come \(\displaystyle P(Z>2)*P(Z>2) \) separatamente come prodotto delle due probabilità(perchè indipendenti)?
In questo modo è come se calcolassi la \(\displaystyle P(Z>2)^2 \)
o non è lecito?
grazie mille a tutti per l'attenzione.

[Lo_zio_Tom]

come si distribuisce una normale standard al quadrato? E' per caso una distribuzione nota?

se fosse così (ed è così!) allora basta ricondurre la tua distribzione ad una normale standard ed utilizzare questa proprietà

hai capito?

Sia $X~ N(0;1)$

calcoliamo la distribuzione di $Y=X^2$

$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(X^2<=y)=P(-sqrt(y)<=X<=sqrt(y))=$

$=2int_(0)^(sqrt(y))1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2) dx=2int_(0)^(sqrt(y))(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))e^(-x^2/2) dx$

$f(y)=d/(dy)F=(1/2)^(1/2)/(Gamma(1/2))y^(1/2-1)e^(-y/2)$

riconosci questa distribuzione?

(esistono anche alre dimostrazioni ma questa è quella che mi è venuta in mente ora....)

[mefisto18]

Ciao,
perdonami non so se c'è una formula standard,
S e faccio il quadrato del termine riesco a calcolare la media che dovrebbe essere due ma non la varianza per questo ho tentanto l'approccio precedente

[Lo_zio_Tom]

per controllo ecco la semplice soluzione. Sfruttando la proprietà che ti ho dimostrato prima ottieni:

$P{(X-Y)^2>2}=P{((X-Y)/sqrt(2))^2>1}=P{chi_((1))^2>1}=DISTRIB.CHI(1;1)=0.3173$

[mefisto18]

Ahhh! ok grazie mille ! gentilissimo ! non avevo considerato proprio quella formula per la risoluzione!