Probabilità condizionata: versione regolare
Salve a tutti, avrei bisongo del vostro aiuto.
Non ho ben capito la definizione di versione regolare della probabilità condizionata.
In pratica, dato uno spazio di probabilità $(Omega,B, P)$ abbiamo definito la probabilità di un evento condizionata da una sotto $sigma$-algebra D contenuta in B come valore atteso condizionato nel seguente modo:
$P(A|D) = E(chi_A |D)$ ma abbiamo osservato che essa non è esattamente una misura di probabilità in quanto l'insieme per cui valgono le proprietà ($sigma$-additività ecc) dipende dalla scelta dell'insieme degli eventi).
Perchè $P(A|D)$ sia una misura di probabilità, è necessario trovare una versione per cui le suddette proprietà siano valide $AA omega in Omega$. Definiamo quindi la versione regolare della probabilità condizionata nel seguente modo:
Sia $(Omega, B,P)$ uno spazio di probabilità e siano D e F due sotto-$sigma$-algebre di B. Un'applicazione
$P_D: Omega xx F rarr [0,1]$
si dice versione regolare della probabilità condizionale rispetto a D se:
1) $AA A in F: omega rarr P_D (omega, A)$ è una versione di $P(A|D)$ (cioè, credo, appartiene alla classe di equivalenza di $P(A|D)$)
2) $AA omega in Omega : A rarr P_D (omega, A)$ è una misura di probabilità su $(Omega, F)$
Non ho ben capito perchè questa misura di probabilità sia definita su $Omega xx F$.
Mi sfugge proprio il motivo di questa definizione: ok, la posso imparare, però se non ne vedo la profondità credo mi serva a poco...
Grazie in anticipo, e buon pomeriggio.
Non ho ben capito la definizione di versione regolare della probabilità condizionata.
In pratica, dato uno spazio di probabilità $(Omega,B, P)$ abbiamo definito la probabilità di un evento condizionata da una sotto $sigma$-algebra D contenuta in B come valore atteso condizionato nel seguente modo:
$P(A|D) = E(chi_A |D)$ ma abbiamo osservato che essa non è esattamente una misura di probabilità in quanto l'insieme per cui valgono le proprietà ($sigma$-additività ecc) dipende dalla scelta dell'insieme degli eventi).
Perchè $P(A|D)$ sia una misura di probabilità, è necessario trovare una versione per cui le suddette proprietà siano valide $AA omega in Omega$. Definiamo quindi la versione regolare della probabilità condizionata nel seguente modo:
Sia $(Omega, B,P)$ uno spazio di probabilità e siano D e F due sotto-$sigma$-algebre di B. Un'applicazione
$P_D: Omega xx F rarr [0,1]$
si dice versione regolare della probabilità condizionale rispetto a D se:
1) $AA A in F: omega rarr P_D (omega, A)$ è una versione di $P(A|D)$ (cioè, credo, appartiene alla classe di equivalenza di $P(A|D)$)
2) $AA omega in Omega : A rarr P_D (omega, A)$ è una misura di probabilità su $(Omega, F)$
Non ho ben capito perchè questa misura di probabilità sia definita su $Omega xx F$.
Mi sfugge proprio il motivo di questa definizione: ok, la posso imparare, però se non ne vedo la profondità credo mi serva a poco...
Grazie in anticipo, e buon pomeriggio.
Risposte
La questione della versione regolare della "probabilità condizionata" può sembrare solo un fatto tecnico, tuttavia è una questione abbastanza fine e difficile da capire fino in fondo (anche per me).
Mi limito a darti solo qualche spunto, poi magari si potrà discutere su qualche esempio in particolare.
Ho trovato questo link in rete (c'è un paragrafo che penso possa fare a tuo caso, dato che penso che per te la probabilità sia un argomento nuovo): https://www.mat.unical.it/~gianfelice/d ... i_P&PS.pdf
In italiano trovi ancora una paragrafo o capitolo (non ricordo) sul libro di Baldi: Equazioni Differenziali Stocastiche e Applicazioni. Quaderno U.M.I. 28, Pitagora Ed. Bologna, 1984.
Se vuoi qualcosa di estremamente "misuristico": http://www.mscand.dk/article.php?id=2012
Qualche considerazione:
Una versione regolare della probabilità condizionale esiste quasi sempre tranne che in casi "veramentre strani" (anche in condizioni "estreme", puoi vedere: "Probability measures on metric spaces" di K. R. Parthasarathy").
In generale la questione si pone quando si vuole "scomporre" la misura perché le densità di probabilità vengono definite tramite condizionamenti ad esempio nei processi di Markov.
Un esempio per chiarirsi le idee potrebbe essere quello di considerare un vettore normale $(X,Y)$ e provare a vedere come scrivere $P(X \in A|Y=y)$. Ti faccio notare che la retta $Y=y$ ha misura nulla rispetto alla misura di lebesgue, tuttavia puoi definire e calcolare la probabilità $P(X \in A|Y=y)$.
Mi limito a darti solo qualche spunto, poi magari si potrà discutere su qualche esempio in particolare.
Ho trovato questo link in rete (c'è un paragrafo che penso possa fare a tuo caso, dato che penso che per te la probabilità sia un argomento nuovo): https://www.mat.unical.it/~gianfelice/d ... i_P&PS.pdf
In italiano trovi ancora una paragrafo o capitolo (non ricordo) sul libro di Baldi: Equazioni Differenziali Stocastiche e Applicazioni. Quaderno U.M.I. 28, Pitagora Ed. Bologna, 1984.
Se vuoi qualcosa di estremamente "misuristico": http://www.mscand.dk/article.php?id=2012
Qualche considerazione:
Una versione regolare della probabilità condizionale esiste quasi sempre tranne che in casi "veramentre strani" (anche in condizioni "estreme", puoi vedere: "Probability measures on metric spaces" di K. R. Parthasarathy").
In generale la questione si pone quando si vuole "scomporre" la misura perché le densità di probabilità vengono definite tramite condizionamenti ad esempio nei processi di Markov.
Un esempio per chiarirsi le idee potrebbe essere quello di considerare un vettore normale $(X,Y)$ e provare a vedere come scrivere $P(X \in A|Y=y)$. Ti faccio notare che la retta $Y=y$ ha misura nulla rispetto alla misura di lebesgue, tuttavia puoi definire e calcolare la probabilità $P(X \in A|Y=y)$.
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