Probabilità condizionata tra v.a. non indipendenti
Sia (X,Y) una v.a. doppia uniformemente distribuita nel cerchio unitario (centro l'origine e raggio 1). Calcolare
$ P(max{|X|,|Y|}<1/(2\sqrt(2)) | X^2+Y^2<1/4) $
Ho solamente capito che la funzione di densità congiunta è uguale a
$ f_(X,Y)(x,y) = 1/(\pi)" per "x^2+y^2<1 $
Essendo però le v.a. $ X$ e $Y$ non indipendenti non so proprio come calcolare il massimo.
$ P(max{|X|,|Y|}<1/(2\sqrt(2)) | X^2+Y^2<1/4) $
Ho solamente capito che la funzione di densità congiunta è uguale a
$ f_(X,Y)(x,y) = 1/(\pi)" per "x^2+y^2<1 $
Essendo però le v.a. $ X$ e $Y$ non indipendenti non so proprio come calcolare il massimo.
Risposte
È davvero molto semplice. Tutti i problemi di questo tipo si risolvono con
$ int int_(A) f (x, y) dxdy $
dove A è l'evento di interesse: nel tuo caso l'area della porzione di piano definita dalla richiesta dell'esercizio e il cerchio unitario.
Essendo la variabile uniforme non serve calcolare l'integrale doppio ma basta fare $1/pi A $.
Nel caso in esame la probabilità condizionata è data dal rapporto di due probabilità che geometricamente sono:
1) l'area dell'intersezione fra il cerchio $ x^2+y^2 <1/4$ e il quadrato (con intersezione delle diagonali nell'origine ) di lato $1/ sqrt (2)$
2) l'area del cerchio $ x^2+y^2 <1/4$.
Le probabilità sono ovviamente le due aree moltiplicate per $1/pi $
In definitiva, essendo il quadrato incluso nel cerchio viene $(1/pi\cdot1/sqrt (2)^2)/(1/pi \cdot pi/4)=2/pi$.
$ int int_(A) f (x, y) dxdy $
dove A è l'evento di interesse: nel tuo caso l'area della porzione di piano definita dalla richiesta dell'esercizio e il cerchio unitario.
Essendo la variabile uniforme non serve calcolare l'integrale doppio ma basta fare $1/pi A $.
Nel caso in esame la probabilità condizionata è data dal rapporto di due probabilità che geometricamente sono:
1) l'area dell'intersezione fra il cerchio $ x^2+y^2 <1/4$ e il quadrato (con intersezione delle diagonali nell'origine ) di lato $1/ sqrt (2)$
2) l'area del cerchio $ x^2+y^2 <1/4$.
Le probabilità sono ovviamente le due aree moltiplicate per $1/pi $
In definitiva, essendo il quadrato incluso nel cerchio viene $(1/pi\cdot1/sqrt (2)^2)/(1/pi \cdot pi/4)=2/pi$.
Grazie mille per l'aiuto. Ho corretto ora il testo. il risultato del libro è $ 2/(\pi) $ Ora cer o di ragionare bene su quello che hai scritto
Sì ovvio. Ho messo un $ pi $ di troppo perché si semplifica nella probabilità condizionata. ..sai facendo i conti a mente mi e' scappato...ora corretto
Ora ho capito la tua soluzione e sono d'accordo. Mi ero proprio dimenticato che il $ max{|X|,|Y|}
Comunque sto arrivando a pensare che sia sbagliato il risultato del libro.
Comunque sto arrivando a pensare che sia sbagliato il risultato del libro.
no basta sono io impedito 
ne sto facendo talmente tanti che non capisco piùun cavolo 
grazie mille per la risoluzione
ne sto facendo talmente tanti che non capisco piùun cavolo grazie mille per la risoluzione
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