Probabilità condizionata tra v.a.

[andra_zx]

Salve a tutti, ho un quesito strano, e non riesco nemmeno a partire.

Effettuo lanci ripetuti ed indipendenti di una moneta con $P(T) = p$. Sia $Y$ la v.a. che indica a quale lancio si verifica la prima Testa, ed $X_n$ la v.a. che indica
il numero di Teste nei primi $n$ lanci. Calcolare la densità condizionata $p_(Y|X_n)(k, 1) = P(Y = k|X_n = 1)$

Ora, le informazione di base ricavate sono che sia l' alfabeto di $X$ che di $Y$ va da $1$ ad $n$. $Y$ è una geometrica di parametro $p$, mentre $X$ è una binomiale di $n$ eventi con solo $1$ favorevole.
Il problema mi chiede di trovare la probabilità di avere una testa al k-esimo lancio, sapendo che su $n$ lanci ho solo una testa.
Se provo ad esare la regola di base $P(A,B) = P(A|B)P(B)$ non vado da nessuna parte.

Credo si debbano fare delle considerazioni aggiuntive sulla variabile $X$ per schiarirsi le idee sul calcolo.. avete qualche suggerimento ?

Grazie a tutti

[cenzo1]

Sfrutterei la probabilità condizionata: $p_(Y|X_n)(k, 1) = P(Y = k|X_n = 1)= (P(Y = k nn X_n = 1))/(P(X_n=1))$
Al numeratore hai la probabilità di avere una sola testa al lancio $k$, ovvero:

(non hai testa nei primi $k-1$ lanci)*(hai testa al lancio $k$)*(non hai testa nei rimanenti $n-k$ lanci)

Evidentemente ciò è possibile solo per $k=1,2,...,n$

[andra_zx]

capisco, avevo intuito una via simile alla tua, ma non sapevo, e non so ancora come interpretare il dato $X_n = 1$. Cioè, seguendo il tuo ragionamento avrei:
$P(Y = k|X_n = 1) = ((1 - p)^(k-1)p(1 - p)^(n-k))/(np(1 - p)^(n - 1)) = (p(1 - p)^(n - 1))/(np(1 - p)^(n - 1)) = 1/n$ che non dipende da $k$

Ora, conto che il risultato sia giusto, e vorrei vedere il caso per $X_n = 2$: cambierà il denominatore, ma per quanto riguardo il numeratore ?
Ho opitizzato che essendo 2 teste, ho 2 eventi positivi possibili. Se il risultato precedente è giusto, significa che dovrò cercare la testa al k-esimo lancio, ma in seguito dovrò ipotizzare una testa anche ad un esentuale i-esimo lancio.
Allora $P(Y = k|X_n = 2) = ((1 - p)^(k-1)p(1 - p)^(i -k - 1)p(1-p)^(n - i))/(n(n - 1)/2p^2(1 - p)^(n - 2)) = 2/(n(n - 1))

Il che è molto strano perchè mi aspetterei che la probabilità aumenti, ed invece è nettamente diminuita..

[cenzo1]

"andra_zx":capisco, avevo intuito una via simile alla tua, ma non sapevo, e non so ancora come interpretare il dato $X_n = 1$. Cioè, seguendo il tuo ragionamento avrei:
$P(Y = k|X_n = 1) = ((1 - p)^(k-1)p(1 - p)^(n-k))/(np(1 - p)^(n - 1)) = (p(1 - p)^(n - 1))/(np(1 - p)^(n - 1)) = 1/n$ che non dipende da $k$

Non ti meravigliare, anzi mi sembrava logico aspettarsi una distribuzione uniforme discreta.

Riflettiamo: qual è la probabilità di avere testa per la prima volta al lancio $k$, dato che nei primi $n$ lanci ho una sola testa?

Ho $n$ casi possibili (i posti che può occupare quella singola testa) e $1$ solo caso favorevole (che la testa occupi il posto $k$).
Ovviamente ti faccio notare che per $k>n$ tale probabilità è nulla. E infatti $sum_{k=1}^{n}1/n=1$

"andra_zx":vorrei vedere il caso per $X_n = 2$: cambierà il denominatore, ma per quanto riguardo il numeratore ?

Non mi torna il tuo conto al numeratore.

Questa volta si ha:
(non hai testa nei primi $k-1$ lanci)*(hai testa al lancio $k$)*(hai una testa in una qualsiasi posizione nei rimanenti $n-k$ lanci)
L'ultimo pezzo è una binomiale con parametro $n-k$.

Mi risulta:

$P(Y = k|X_n = 2) = ((1-p)^(k-1)*p*((n-k),(1))p(1-p)^(n-k-1))/(((n),(2))p^2(1-p)^(n-2)) = (2(n-k))/(n(n - 1))$ con $k=1,2,...,n$

(naturalmente la probabilità è nulla per $k>=n$).

Puoi anche verificare che $sum_{k=1}^{n}(2(n-k))/(n(n - 1))=1$

[andra_zx]

ah giusto, nel caso con 2 teste non ho riflettuto bene e invece di posizione la seconda testa "a caso" tra gli $n - k$ lanci rimanenti, l' ho posizionata ad un lancio ben preciso, cioè l' i-esimo.

Grazie mille dell' aiuto!