Probabilità condizionata ed indipendenza
ciao a tutti, sono nuova, mi complimento innanzi tutto per questo bel forum che ho appena scoperto.
vi propongo un esercizio che non sono stata in grado di risolvere
:
Un impianto funziona ogni giorno con probabilità 0.7 (funziona indipendentemente ogni giorno dall altro),
se i primi 4 giorni non ha funzionato, qual è la probabilità che il quinto giorno funzioni?
inizialmente mi verrebbe da pensare che la soluzione sia 0.7 dato che sono indipendenti, ma non puo essere così facile, anche perchè ho un esercizio vagamente simile (ma non tanto) che tratta sempre di eventi indipendenti e i due risultati si avvicinano molto ma sono diversi ( se volete poi lo metto), comuqnue usando bayes non ci arrivo... dovrei ricavare P che funziona il 5 giorno condizionato a P che non ha funzionato i primi 4. cioè possono essere anche intersecati, no?
grazie dell attenzione e buona serata
vi propongo un esercizio che non sono stata in grado di risolvere
:Un impianto funziona ogni giorno con probabilità 0.7 (funziona indipendentemente ogni giorno dall altro),
se i primi 4 giorni non ha funzionato, qual è la probabilità che il quinto giorno funzioni?
inizialmente mi verrebbe da pensare che la soluzione sia 0.7 dato che sono indipendenti, ma non puo essere così facile, anche perchè ho un esercizio vagamente simile (ma non tanto) che tratta sempre di eventi indipendenti e i due risultati si avvicinano molto ma sono diversi ( se volete poi lo metto), comuqnue usando bayes non ci arrivo... dovrei ricavare P che funziona il 5 giorno condizionato a P che non ha funzionato i primi 4. cioè possono essere anche intersecati, no?
grazie dell attenzione e buona serata
Risposte
(funziona indipendentemente ogni giorno dall altro)
Questo basta e avanza per dire che la probabilità cercata vale $0,7$
Prova a scrivere anche gli altri esercizi, vediamo se sono dello stesso tipo.
eh... si... vabbe metto un esercizio simile
"una compagnia assicurativa ha dei clienti A( piu propensi ad incidenti e sono lo 0.3 e fanno un inc in un anno con P =0.4)
B (meno propensi :0.7 e fanno un incidente con P 0.2) (indipendenti)
un nuovo assicurato con quale probabiloità fa un incidente il secondo anno, se lo ha fatto nel primo?
quindi ricavo la probabilita di Incidente, $P(I)=P(I|P)P(P)+P(I|Pc)P(Pc)= cioè 0.4*0.3+0.2*0.7= 0.26$
poi ricavo le probabilità intersecate $P(I1 \cap I2)= P(I1|P)P(I2|P)P(P)+P(I1|Pc)P(I2|Pc)P(Pc)= 0.4^2*0.3+0.2^2*0.7=0.076$
e quindi uso la classica formula della probabilita condizionata $(P(I1 \cap I2))/(P(I1))= 0.076/0.26= 0.2923$
in effetti ...per essere indipendenti, la P(AB) dev essere uguale a P(A)P(B)... però non può essere cosi facile dai...
*perdonami non sapevo come fare
"una compagnia assicurativa ha dei clienti A( piu propensi ad incidenti e sono lo 0.3 e fanno un inc in un anno con P =0.4)
B (meno propensi :0.7 e fanno un incidente con P 0.2) (indipendenti)
un nuovo assicurato con quale probabiloità fa un incidente il secondo anno, se lo ha fatto nel primo?
quindi ricavo la probabilita di Incidente, $P(I)=P(I|P)P(P)+P(I|Pc)P(Pc)= cioè 0.4*0.3+0.2*0.7= 0.26$
poi ricavo le probabilità intersecate $P(I1 \cap I2)= P(I1|P)P(I2|P)P(P)+P(I1|Pc)P(I2|Pc)P(Pc)= 0.4^2*0.3+0.2^2*0.7=0.076$
e quindi uso la classica formula della probabilita condizionata $(P(I1 \cap I2))/(P(I1))= 0.076/0.26= 0.2923$
in effetti ...per essere indipendenti, la P(AB) dev essere uguale a P(A)P(B)... però non può essere cosi facile dai...
*perdonami non sapevo come fare
Ciao.
Sarebbe una bella cosa se tu mettessi un segno del dollaro $ all'inizio ed alla fine delle formule.
Diventerebbe tutto molto più leggibile......
Sarebbe una bella cosa se tu mettessi un segno del dollaro $ all'inizio ed alla fine delle formule.
Diventerebbe tutto molto più leggibile......
I 2 problemi non sono equivalenti.
Nel secondo si chiede : Se una persona ha avuto un incidente l'anno scorso, con quale probabilità lo avrà anche quest'anno?
Infatti la probabilità di avere un incidente è dipendente dall'essere o no predisposti.
Se colui che l'anno scorso si è infortunato era un predisposto allora la probabilità di avere l'incidente anche quest'anno sarà diversa dalla probabilità nel caso esso fosse un non predisposto.
Dunque: A=Incidente secondo anno , B=Incidente il primo anno , abbiamo:
$P(A|B)=P((A nn B))/(P(B))$
$P(A|B)=(0,3*0,4*0,4+0,7*0,2*0,2)/(0,3*04+0,7*0,2)=(0,048+0,028)/(0,26)=0,29$
Nel caso del primo problema invece la questione è molto più semplice perchè $P(A nn B)$ è esattamente uguale a $P(A)*P(B)$
Infatti se consideri gli eventi $A$ e $B$ come due insiemi di eulero-venn, noterai che $A$ ha una parte intersecata con $B$ e una non intersecata, la parte non intersecata corrisponde alla probabilità che accada $A$ ma non accada B, la parte intersecata corrisponde esattamente alla probabilità che accada sia $A$ che $B$, cioè $P(A)*P(B)$ , $P(A|B)=P((A nn B))/(P(B))=P(A)*(P(B))/(P(B))=P(A)$
Nel secondo si chiede : Se una persona ha avuto un incidente l'anno scorso, con quale probabilità lo avrà anche quest'anno?
Infatti la probabilità di avere un incidente è dipendente dall'essere o no predisposti.
Se colui che l'anno scorso si è infortunato era un predisposto allora la probabilità di avere l'incidente anche quest'anno sarà diversa dalla probabilità nel caso esso fosse un non predisposto.
Dunque: A=Incidente secondo anno , B=Incidente il primo anno , abbiamo:
$P(A|B)=P((A nn B))/(P(B))$
$P(A|B)=(0,3*0,4*0,4+0,7*0,2*0,2)/(0,3*04+0,7*0,2)=(0,048+0,028)/(0,26)=0,29$
Nel caso del primo problema invece la questione è molto più semplice perchè $P(A nn B)$ è esattamente uguale a $P(A)*P(B)$
Infatti se consideri gli eventi $A$ e $B$ come due insiemi di eulero-venn, noterai che $A$ ha una parte intersecata con $B$ e una non intersecata, la parte non intersecata corrisponde alla probabilità che accada $A$ ma non accada B, la parte intersecata corrisponde esattamente alla probabilità che accada sia $A$ che $B$, cioè $P(A)*P(B)$ , $P(A|B)=P((A nn B))/(P(B))=P(A)*(P(B))/(P(B))=P(A)$
Il secondo esercizio è tratto dal libro "Sheldon Ross - Calcolo delle probabilità". Puoi trovarne lo svolgimento qui (Esempio 5a):
http://books.google.it/books?id=g5bGtNO ... e&q&f=true
Edit: non mi ero soffermato sullo svolgimento di Vulplasir, che perviene al risultato del libro con un metodo più rapido.
http://books.google.it/books?id=g5bGtNO ... e&q&f=true
Edit: non mi ero soffermato sullo svolgimento di Vulplasir, che perviene al risultato del libro con un metodo più rapido.
Ho capito, in effetti ora mi sembra abbastanza logico il ragionamento... Grazie Mille! 
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