Probabilità condizionata e formula di Bayes

[marcoderamo93]

Buongiorno

volevo una conferma sulla soluzione del seguente quesito

Vi sono due monete,una equa e una truccata( con probabilità 1/3 che esca testa). Si sceglie a caso una moneta e la si lancia tre volte

a) Calcolare la probabilità che esca almeno una croce in tre lanci
b) Sapendo che è uscita almeno una croce in tre lanci,calcolare la probabilità che si stia usando la moneta non equa


a) Per questo punto ho definito $A$ moneta equa con $p=1/2$ esca croce e $1-p$ altrimenti mentre con $B$ moneta truccata con $q=2/3$ esce croce e $1/3$ altrimenti. Cosi passo a indiciare con $T=# croci tre lanci$
che puo assumere valori ${0,1,2,3,4}$
In generale

$P(T=k)$ è una mixtura di due binomiali

quindi

$P(T=k)=P(T=k)|A)P(A)+P(T=k|B)P(B)$ dove chiaramente $P(A)=P(B)=1/2$

per calcolare quello che serve a me ho pensato

$P(T>=1)=1-P(T=0)$ quindi
$P(T=0)=1/2[(1/2)^3+(1/3)^3]=0.081$

Sostituendo e approssimando

$P(T>=1)=0.92$

b) Uso Bayes

$P(B|T>=1)=(P(T>=1|B)P(B))/(P(T>=1))$

Per semplificare la notazione denomino

$P(Tb)=P(T>=1|B)$ il numero di croci della moneta truccata

procedo allo stesso modo di prima

$P(Tb>=1)=1-P(Tb=0)=1- 26/27=0.04$

Cosi

$P(B|T>=1)=(0.04*0.5)/0.081=0.25$

Corretto?

Grazie mille e buona giornata a tutti

[Lo_zio_Tom]

scusa eh ma senza tanti conti.

Il primo punto è giusto ma semplicemente viene

$1/2(1-1/8)+1/2(1-1/27)=1/2A+1/2B$

condizionando lì$1/2$ lo puoi buttare via.... ed il risultato è semplicemente $B/(A+B)$...circa il 52.39%

[ghira1]

La moneta $B$ esce croce più spesso. La tua risposta mi sembra inverosimile.

[marcoderamo93]

"tommik":scusa eh ma senza tanti conti.

Il primo punto è giusto ma semplicemente viene

$1/2(1-1/8)+1/2(1-1/27)=1/2A+1/2B$

condizionando lì$1/2$ lo puoi buttare via.... ed il risultato è semplicemente $B/(A+B)$...circa il 52.39%

Diciamo che la tua risposta è molto pìù intuitiva. Nella mia dove ho sbagliato? Il risultato non torna

[marcoderamo93]

"ghira":La moneta $B$ esce croce più spesso. La tua risposta mi sembra inverosimile.

Hai ragione. Dove ho sbagliato?

[Lo_zio_Tom]

"Sasuke93":

Diciamo che la tua risposta è molto pìù intuitiva.

se sei qui è per imparare qualche cosa....se devi applicare le formulette degli appunti e fare solo i conticini il forum non serve ad una cippa

[marcoderamo93]

Non vorrei essermi spiegato male .Ho apprezzato tantissimo la tua osservazione (non c' ero arrivato inizialmente) ne farò sicuramente tesoro . La mia "controrisposta" era per cercare di capire cosa avessi sbagliato.

[marcoderamo93]

[quote= se sei qui è per imparare qualche cosa [/quote]

Per dire. Capire che questa era una mistura è stato grazie ad un esercizio svolto grazie il vostro aiuto.La mano che mi state dando è gigantesca

[Lo_zio_Tom]

"Sasuke93":...era per cercare di capire cosa avessi sbagliato.

così è giusto...

$P(T_b>=1)=26/27$

tu hai ne hai fatto il complemento.

...ed hai sbagliato pure il denominatore finale...insomma tutto da buttare (2 errori su 3 numeri...)

$(26/27xx0.5)/.92$

[marcoderamo93]

Vero. Ho fatto un minestrone di più risultati di parametri diversi

Grazie mille sei stato gentilissimo

Grazie anche a ghira