Probabilità condizionata della somma di v.a. di Poisson

[TET_89]

Buongiorno, ho questo problema:

"Siano $X$ e $Y$ due variabili casuali indipendenti di distribuzione di Poisson con
parametri $\lambda$ e $\mu$.
(a) Mostra che la variabile casuale $X + Y$ ha la distribuzione di Poisson con parametro $\lambda+ \mu$.
(b) Calcolare la distribuzione condizionata $P(X = k | X + Y = n)$ dato che $X +
Y = n$, per tutti $k, n \in \mathbb{N}$
(c) Si supponga che i rispettivi parametri delle distribuzioni di $X$ e $Y$ siano casuali,
indipendente, e scelti secondo una distribuzione esponenziale con parametro
$\theta > 0.$
calcolare le distribuzioni di probabilità di X e Y , e calcolare la distribuzione
condizionata $P(X = k | X + Y = n)$ dato che $X + Y = n,$ per tutti $k, n \in \mathbb{N}$
(d) Supponiamo ora che $X$ e $Y$ abbiano lo stesso parametro casuale rappresentato da una singola Variabile casuale distribuita esponenzialmente con parametro $\theta > 0$, indipendente di $X$ e $Y$ .
Calcolare la distribuzione condizionata $P(X = k | X + Y = n)$ dato che $X +
Y = n$, per tutti $k, n \in \mathbb{N}$

per quanto riguarda i punti a e b nessun problema, invece per il punto c e b nascono i problemi, non saprei come andare avanti. qualcuno potrebbe aiutarmi per procedere?


[xdom="feddy"]Benvenuto nel forum, TET_89. Ho corretto la tua domanda scrivendo le formule in LaTeX (come da [regolamento]1[/regolamento]) e modificato il titolo.[/xdom]