Probabilità condizionata con dadi e monete
buon pomeriggio a tutti,
chi mi dirabbe una mano per risolvere questo rompicapo:
"il giocatore A lancia una dado. se ottiene un 5 o un 6 vince la partita. Altrimenti il giocatore B lancia una moneta e se esce testa ha vinto lui. Se invece esce croce tocca nuovamente ad A ed il gioco continua con le stesse regole fino alla vittoria di uno dei due giocatori.
a) Qual è la probabilità che vinca A?
b) Quanto durerà in media la partita? (su questa parte non ho proprio idea)"
per quanto riguarda la prima domanda dopo aver costruito un breve diagramma ad albero intuisco che la probabilità che vinca B sia [tex]\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots=\frac{1}{2}[/tex] è corretto?. Ringrazio tutti coloro che si interesseranno
chi mi dirabbe una mano per risolvere questo rompicapo:
"il giocatore A lancia una dado. se ottiene un 5 o un 6 vince la partita. Altrimenti il giocatore B lancia una moneta e se esce testa ha vinto lui. Se invece esce croce tocca nuovamente ad A ed il gioco continua con le stesse regole fino alla vittoria di uno dei due giocatori.
a) Qual è la probabilità che vinca A?
b) Quanto durerà in media la partita? (su questa parte non ho proprio idea)"
per quanto riguarda la prima domanda dopo aver costruito un breve diagramma ad albero intuisco che la probabilità che vinca B sia [tex]\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots=\frac{1}{2}[/tex] è corretto?. Ringrazio tutti coloro che si interesseranno
Risposte
Per quel che riguarda il primo quesito, onestamente, non mi trovo con il tuo risultato. Ad ogni modo, potrebbe essere plausibile.
Per determinare la durata di vita media, io procederei in questa maniera. Indicato con [tex]T[/tex] la v.a associata alla durata della partita, con [tex]A_n[/tex] l'evento vittoria del giocatore [tex]A[/tex] al tempo [tex]n[/tex] e, infine, con [tex]B_n[/tex] l'evento vittoria del giocatore [tex]B[/tex], si può scrivere:
[tex]Pr\{T=n\}=Pr\{A_n\cup B_n\}=Pr\{A_n\}+Pr\{B_n\}[/tex]
Ora, ti basta calcolare
[tex]E[T]=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}nPr\{T=n\}=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}n (Pr\{A_n\}+Pr\{B_n\})[/tex]
Verifica se riesci a chiudere la sommatoria.
Per determinare la durata di vita media, io procederei in questa maniera. Indicato con [tex]T[/tex] la v.a associata alla durata della partita, con [tex]A_n[/tex] l'evento vittoria del giocatore [tex]A[/tex] al tempo [tex]n[/tex] e, infine, con [tex]B_n[/tex] l'evento vittoria del giocatore [tex]B[/tex], si può scrivere:
[tex]Pr\{T=n\}=Pr\{A_n\cup B_n\}=Pr\{A_n\}+Pr\{B_n\}[/tex]
Ora, ti basta calcolare
[tex]E[T]=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}nPr\{T=n\}=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}n (Pr\{A_n\}+Pr\{B_n\})[/tex]
Verifica se riesci a chiudere la sommatoria.
Grazie K.Lomax 
. Posso chiederti quanto dovrebbe essere la probabilità che vinca A? Il mio ragionamento è molto debole, me ne rendo conto, e purtroppo più vado avanti più dimentico i concetti di probabilità, sono costretto a ricorrere all'intuito il quale da solo non è sufficiente 
.
PS: questo è un quesito che ho trovato su una prova per l'ammissione al dottorato di qualche anno fa. L'ho proposto ai miei colleghi ognuno dei quali ha dato risposte differenti , generando in me molti dubbi
. Posso chiederti quanto dovrebbe essere la probabilità che vinca A? Il mio ragionamento è molto debole, me ne rendo conto, e purtroppo più vado avanti più dimentico i concetti di probabilità, sono costretto a ricorrere all'intuito il quale da solo non è sufficiente . PS: questo è un quesito che ho trovato su una prova per l'ammissione al dottorato di qualche anno fa. L'ho proposto ai miei colleghi ognuno dei quali ha dato risposte differenti , generando in me molti dubbi
Anche a me è venuto numericamente come te. Ti spiego il mio ragionamento.
A può vincere se si verifica uno dei seguenti eventi:
-esce 5 o 6 al primo lancio del dado
-esce da 1 a 4 al primo lancio del dado, esce croce sulla moneta ed esce 5 o 6 al secondo lancio del dado.
-esce da 1 a 4 al primo lancio del dado, esce croce sulla moneta, esce un numero da 1 a 4 al secondo lancio del dado, esce croce al secondo lancio della moneta, esce 5 o 6 al terzo lancio del dado.
-....
Essendo gli eventi sopra mutuamente esclusivi, ho fatto la somma delle probabilità dei singoli eventi. Le uscite dei singoli eventi dovendosi verificare tutte, ho fatto il prodotto delle probabilità delle singole uscite:
$P(A) = 2/6 + (4/6)*(1/2)*(2/6) + (4/6)*(1/2)*(4/6)*(1/2)*(2/6) + ... = 1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + ... = \sum_{k=1}^N (1/3)^k$
$\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N (1/3)^k = 1/2$
Chiaramente potrei aver sbagliato qualcosa.
A può vincere se si verifica uno dei seguenti eventi:
-esce 5 o 6 al primo lancio del dado
-esce da 1 a 4 al primo lancio del dado, esce croce sulla moneta ed esce 5 o 6 al secondo lancio del dado.
-esce da 1 a 4 al primo lancio del dado, esce croce sulla moneta, esce un numero da 1 a 4 al secondo lancio del dado, esce croce al secondo lancio della moneta, esce 5 o 6 al terzo lancio del dado.
-....
Essendo gli eventi sopra mutuamente esclusivi, ho fatto la somma delle probabilità dei singoli eventi. Le uscite dei singoli eventi dovendosi verificare tutte, ho fatto il prodotto delle probabilità delle singole uscite:
$P(A) = 2/6 + (4/6)*(1/2)*(2/6) + (4/6)*(1/2)*(4/6)*(1/2)*(2/6) + ... = 1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + ... = \sum_{k=1}^N (1/3)^k$
$\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N (1/3)^k = 1/2$
Chiaramente potrei aver sbagliato qualcosa.
per quanto riguarda il primo quesito, mi trovo con i vostri risultati.
per il secondo dovrebbe essere
$1/3+2*1/3+3*1/9+4*1/9+5*1/27+6*1/27+ ... = (1+2)*1/3+(3+4)*1/9+(5+6)*1/27+ ... = sum_(k=1)^(+oo) (4k-1)/(3^k)$.
prova a controllare, verificare e calcolare. ciao.
per il secondo dovrebbe essere
$1/3+2*1/3+3*1/9+4*1/9+5*1/27+6*1/27+ ... = (1+2)*1/3+(3+4)*1/9+(5+6)*1/27+ ... = sum_(k=1)^(+oo) (4k-1)/(3^k)$.
prova a controllare, verificare e calcolare. ciao.
Grazie mille a tutte le risposte . Volevo chiedervi un ultimissimo favore. Per caso avete libri che potete consigliarmi per riprendere lo studio delle probabilità? Ancora grazie 
. Volevo chiedervi un ultimissimo favore. Per caso avete libri che potete consigliarmi per riprendere lo studio delle probabilità? Ancora grazie
prego.
riguardo i testi, se ne è parlato un po' di tempo fa.
ti lascio un link che sono riuscita a ritrovare e che rinvia ad altri topic:
https://www.matematicamente.it/forum/lib ... 43100.html
non è molto, ma spero ti sia utile. ciao.
riguardo i testi, se ne è parlato un po' di tempo fa.
ti lascio un link che sono riuscita a ritrovare e che rinvia ad altri topic:
https://www.matematicamente.it/forum/lib ... 43100.html
non è molto, ma spero ti sia utile. ciao.
Grazie mille adaBTTLS, gentilissima come sempre
prego!
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