Probabilità condizionata
Siano date le variabili aleatorie indipendenti X, Y entrambe con distribuzione binomiale di parametri 2,(1/2) e si ponga Z=XY. Determinare la distribuzione congiunta di x e z.
Ora io so che x e y assumono i valori (0,1,2) e quindi z assume (0,1,2,4). Ma la distribuzione congiunta come la ricavo? Grazie in anticipo.
Ora io so che x e y assumono i valori (0,1,2) e quindi z assume (0,1,2,4). Ma la distribuzione congiunta come la ricavo? Grazie in anticipo.
Risposte
distribuzione congiunta è un termine un po' improprio in questo caso, se ho ben capito il problema.
Cerchi la distribuzione di Z? il dominio l'hai calcolato ora devi vedere che probabilità assegnare a tali valori del dominio
i casi possibili sono
$0-0 rarr z=0 rarr p=1/16$
$0-1 rarr z=0 rarr p=2/16$
$0-2 rarr z=0 rarr p=1/16$
$1-0 rarr z=0 rarr p=2/16$
$1-1 rarr z=1 rarr p=4/16$
$1-2 rarr z=2 rarr p=2/16$
$2-0 rarr z=0 rarr p=1/16$
$2-1 rarr z=2 rarr p=2/16$
$2-2 rarr z=4 rarr p=1/16$
ricapitolando otteniamo:
$XY={{: ( 0 , 1 , 2 , 4 ),( 7/16 , 4/16 , 4/16 , 1/16 ) :}$
Cerchi la distribuzione di Z? il dominio l'hai calcolato ora devi vedere che probabilità assegnare a tali valori del dominio
i casi possibili sono
$0-0 rarr z=0 rarr p=1/16$
$0-1 rarr z=0 rarr p=2/16$
$0-2 rarr z=0 rarr p=1/16$
$1-0 rarr z=0 rarr p=2/16$
$1-1 rarr z=1 rarr p=4/16$
$1-2 rarr z=2 rarr p=2/16$
$2-0 rarr z=0 rarr p=1/16$
$2-1 rarr z=2 rarr p=2/16$
$2-2 rarr z=4 rarr p=1/16$
ricapitolando otteniamo:
$XY={{: ( 0 , 1 , 2 , 4 ),( 7/16 , 4/16 , 4/16 , 1/16 ) :}$
E come faccio ad assegnare questa probabilità?
"tommik":
distribuzione congiunta è un termine un po' improprio in questo caso, se ho ben capito il problema.
Cerchi la distribuzione di Z? il dominio l'hai calcolato ora devi vedere che probabilità assegnare a tali valori del dominio
i casi possibili sono
$0-0 rarr z=0 rarr p=1/16$
$0-1 rarr z=0 rarr p=2/16$
$0-2 rarr z=0 rarr p=1/16$
$1-0 rarr z=0 rarr p=2/16$
$1-1 rarr z=1 rarr p=4/16$
$1-2 rarr z=2 rarr p=2/16$
$2-0 rarr z=0 rarr p=1/16$
$2-1 rarr z=2 rarr p=2/16$
$2-2 rarr z=4 rarr p=1/16$
ricapitolando otteniamo:
$XY={{: ( 0 , 1 , 2 , 4 ),( 7/16 , 4/16 , 4/16 , 1/16 ) :}$
Ma 0-0->z=0->p=(1/16) cosa vuol dire? Da dove viene fuori(1/16)?
ti ho elencato tutti e 9 i casi possibili che si possono ottenere dalle due binomiali indipendenti.
ogni caso dà origine ad un valore di Z=XY
$P(X=0)=((2),(0))(1/2)^0(1/2)^2=1/4$
$P(X=1)=((2),(1))(1/2)^1(1/2)^1=1/2$
$P(X=2)=((2),(2))(1/2)^2(1/2)^0=1/4$
e lo stesso vale per la variabile Y
quanto vale la probabilita che $X=0;Y=0$? vale $1/4\cdot1/4=1/16$....e così via
questa che ti ho calcolato è la distribuzione di $Z=XY$....è un po' improprio chiamarla distribuzione congiunta di X e Y...anche perché la distribuzione congiunta di X e Y è solo il loro prodotto, data l'indipendenza....se non è ciò che vuoi...come non detto
ogni caso dà origine ad un valore di Z=XY
$P(X=0)=((2),(0))(1/2)^0(1/2)^2=1/4$
$P(X=1)=((2),(1))(1/2)^1(1/2)^1=1/2$
$P(X=2)=((2),(2))(1/2)^2(1/2)^0=1/4$
e lo stesso vale per la variabile Y
quanto vale la probabilita che $X=0;Y=0$? vale $1/4\cdot1/4=1/16$....e così via
questa che ti ho calcolato è la distribuzione di $Z=XY$....è un po' improprio chiamarla distribuzione congiunta di X e Y...anche perché la distribuzione congiunta di X e Y è solo il loro prodotto, data l'indipendenza....se non è ciò che vuoi...come non detto
Sisi ho capito, ho scritto "congiunta" perché è ciò che chiede il testo. Un'ultima domanda, ma la distribuzione x,z come si ottiene?
"fra4":
Sisi ho capito, ho scritto "congiunta" perché è ciò che chiede il testo. Un'ultima domanda, ma la distribuzione x,z come si ottiene?
pensavo ci fosse un errore di trascrizione....quella che ti ho fatto vedere è la distribuzione di Z. La distribuzione congiunta si ottiene con una tabella a doppia entrata. La distribuzione di X, Z pure ma le variabili non sono più indipendenti
distribuzione congiunta di X e Y
${: ( Y X , 0 , 1 , 2 , t o t ),( 0 , 1/16 ,2/16 , 1/16 , 4/16 ),( 1 , 2/16 , 4/16 , 2/16 , 8/16 ),( 2 , 1/16 , 2/16 , 1/16 , 4/16 ),( t o t , 4/16 , 8/16 , 4/16 , 16/16 ) :}$
distribuzione congiunta di X e Z
${: ( Z X , 0 , 1 , 2 , t o t ),( 0 , 4/16 ,2/16, 1/16 , 7/16 ),( 1 , , 4/16 , , 4/16 ),( 2, , 2/16 , 2/16 , 4/16 ),( 4 , , , 1/16 , 1/16 ),( t o t , 4/16 , 8/16 , 4/16 , 16/16 ) :}$
nell'ultima colonna di destra trovi la distribuzione di Z=XY che ti ho calcolato prima....(tanto serviva per questa parte dell'esercizio)
PS: è sempre buona cosa scrivere TUTTO il testo completo, senza fare riassunti. In questo caso, per esempio, avendo da un lato indicato $Z=XY$ e dall'altro chiedere la probabilità congiunta di X e Y ho immaginato che vi fosse un errore di copiatura del testo (non capivo a cosa servisse altrimenti $Z=XY$) ora che hai messo anche la richiesta della congiunta X,Z è tutto chiaro....
ciao
La mia domanda è sempre la stessa, da dove vengono fuori i numeri nella tabella? Per esempio (4/16) come si ottiene?
La difficoltà e' che x e z non sono indipendenti e quindi devi tenerne conto
"tommik":
La difficoltà e' che x e z non sono indipendenti e quindi devi tenerne conto
E come si fa a tenerne conto?
No.. P(x=1,z=0) stando al tuo ragionamento viene (1/2) e invece deve venire (1/8) perché?
devi capire quali siano gli eventi elementari coinvolti nell'evento composto....
X Y
0 0
0 1
0 2
1 0
1 1
1 2
2 0
2 1
2 2
ora se stai cercando la probabilità congiunta che$(X=1,Z=0)$ è evidente che l'unico evento da prendere in considerazione è quello in cui $X=1$ e contemporaneamente $Y=0$
A questo punto moltiplichi fra loro le probabilità $P(X=1)P(Y=0)$...che trovi con la binomiale...
spero di essermi spiegato bene perché più semplicemente di così non si può....
X Y
0 0
0 1
0 2
1 0
1 1
1 2
2 0
2 1
2 2
ora se stai cercando la probabilità congiunta che$(X=1,Z=0)$ è evidente che l'unico evento da prendere in considerazione è quello in cui $X=1$ e contemporaneamente $Y=0$
A questo punto moltiplichi fra loro le probabilità $P(X=1)P(Y=0)$...che trovi con la binomiale...
spero di essermi spiegato bene perché più semplicemente di così non si può....
Questo discorso della probabilità condizionata non mi è chiaro per nulla e sto cercando di capire dove sbaglio. Ho capito il discorso per p(x=0,1,2, z=0) ma per esempio per p(x=0,z=1) come mi devo muovere?
È impossibile. Ed infatti ho lasciato la casella vuota...mica perché mi son dimenticato. ... se x=0 allora z=0, esssendo z=xy
Finalmente ho capito. Grazie, soprattutto della pazienza!
salve,
avendo la densità congiunta del vettore aleatorio $(X,Y)$ $f(x,y)= 4e^-2(x+y)$, $per x>=0, y>=0$
devo calcore la probabilità dell'evento condizionato $(X+Y<=2|X<=2)$ ...
non capisco i seguenti passaggi: $(X+Y<=2|X<=2)=(X+Y<=2)$ quindi: $ P(X+Y<=2|X<=2)=(P(X+Y<=2) )/ (P(X<=2)) $ ...
avendo la densità congiunta del vettore aleatorio $(X,Y)$ $f(x,y)= 4e^-2(x+y)$, $per x>=0, y>=0$
devo calcore la probabilità dell'evento condizionato $(X+Y<=2|X<=2)$ ...
non capisco i seguenti passaggi: $(X+Y<=2|X<=2)=(X+Y<=2)$ quindi: $ P(X+Y<=2|X<=2)=(P(X+Y<=2) )/ (P(X<=2)) $ ...
Hai scritto male. La relazione corretta è
$ P (X+Y <=2 nn X <=2)=P (X+Y <=2) $
....e mi sembra evidente
$ P (X+Y <=2 nn X <=2)=P (X+Y <=2) $
....e mi sembra evidente
"tommik":
Hai scritto male. La relazione corretta è
$ P (X+Y <=2 nn X <=2)=P (X+Y <=2) $
....e mi sembra evidente
evidenza che ni sfugge
...altra probabilità condizionata: $X=" 1° numero estratto al gioco del lotto", E=(X<=45); P(H)=(X>30)$
Calcolare $P(E|H)$.
Ho calcolato $P(E)=1/2$ e $P(H)=2/3 $ quindi $P(E|H)=(P(EH))/(P(H))$
adesso ho il dubbio del numeratore, quale formula usare la numero 1 o la numero 2?
$1 - P(EH)=P(E)P(H)$ eventi indipendenti
$2 - P(EH)=P(E)P(H|E)$ eventi dipendenti
"Frasandro":
evidenza che ni sfugge
male! pensa che basta risolvere il seguente sistema di disequazioni per rendersene conto (x e y sono maggiori di zero)
"Frasandro":
adesso ho il dubbio del numeratore, quale formula usare la numero 1 o la numero 2?
ma poi scusa....senza usare alcuna formula...se ti si chiede la probabilità che esca un numero $<=45$ dato che è uscito un numero maggiore di 30 è evidente che il risultato è $1/4$
o no?
"tommik":
[quote="Frasandro"]
adesso ho il dubbio del numeratore, quale formula usare la numero 1 o la numero 2?
mi rifiuto di rispondere....pensaci ancora un po' ( e non sparare a caso)[/quote]
riflettendoci mi verrebbe da dire che gli eventi sono dipendenti e utilizzando la seconda con probabilità $P(E)=1/2, P(H|E)= 1/14$ ... .. quindi $((1/2*1/14)/(2/3))$ ci siamo?
no. Il numeratore è $P(E nn H)$ ovvero la probabilità che escano dei numeri compresi fra 31 e 45, ovvero $15/90$
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