Probabilità condizionata
Buongiorno e buona Pasqua a tutti. Ho un piccolo problema con questo banale esercizio: "un numero aleatorio ha distribuzione geometrica con parametro $p=1/4$; calcolare $P(2X<9|3X>4)$".
Distribuzione geometrica: $P(X=x)=p(1-p)^(x-1)$
Richiesta dell'esercizio: $P(2X<9|3X>4)=P(X<9/2|X>4/3)$
Casi favorevoli: $X=2 uu X=3 uu X=4$
Casi possibili: e che sono, infiniti!?
Grazie, ed ancora: buona Pasqua a tutti.
Distribuzione geometrica: $P(X=x)=p(1-p)^(x-1)$
Richiesta dell'esercizio: $P(2X<9|3X>4)=P(X<9/2|X>4/3)$
Casi favorevoli: $X=2 uu X=3 uu X=4$
Casi possibili: e che sono, infiniti!?
Grazie, ed ancora: buona Pasqua a tutti.
Risposte
Non è conveniente risolvere questi esercizi calcolando i casi favorevoli e i casi possibili... devi usare la distribuzione geometrica 
Grazie ad entrambi per la risposta. Ho capito $P(X<=x)$, però la mia difficoltà è $P(X>4/3)$, che quindi non rientra in quella casistica. Comunque vorrei riportare qui un esercizio analogo, che io ho risolto in un certo modo, ottenendo il risultato corretto. Per capire le analogie e le differenze tra le 2 problematiche, magari.
Un numero aleatorio $X$ avente distribuzione di Poisson è tale che $P(X=3)=4/3e^(-2)$. Calcolare la probabilità $alpha=P(X=3|3/2<=X<4)$. Si supponga la previsione $E(X)<3$.
Distribuzione di Poisson: $alpha=(lambda^xe^(-lambda))/(x!)$
$P(X=3)=4/3e^(-2) rarr lambda=2$
$alpha=P(X=3|3/2<=X<4)=P(X=3|X=2 uu X=3)$
Casi favorevoli: $h=P(X=3)=4/3e^(-2)$
Casi possibili: $n=P(X=2)+P(X=3)=(2^2e^(-2))/(2!)+4/3e^(-2)=10/3e^(-2)$
In definitiva, $alpha=h/n=2/5$.
Qui ho utilizzato i concetti di casi favorevoli e possibili, e ho ottenuto il risultato corretto. Perché nell'esercizio di partenza non si può? Grazie.
Un numero aleatorio $X$ avente distribuzione di Poisson è tale che $P(X=3)=4/3e^(-2)$. Calcolare la probabilità $alpha=P(X=3|3/2<=X<4)$. Si supponga la previsione $E(X)<3$.
Distribuzione di Poisson: $alpha=(lambda^xe^(-lambda))/(x!)$
$P(X=3)=4/3e^(-2) rarr lambda=2$
$alpha=P(X=3|3/2<=X<4)=P(X=3|X=2 uu X=3)$
Casi favorevoli: $h=P(X=3)=4/3e^(-2)$
Casi possibili: $n=P(X=2)+P(X=3)=(2^2e^(-2))/(2!)+4/3e^(-2)=10/3e^(-2)$
In definitiva, $alpha=h/n=2/5$.
Qui ho utilizzato i concetti di casi favorevoli e possibili, e ho ottenuto il risultato corretto. Perché nell'esercizio di partenza non si può? Grazie.
Allora, innanzitutto ti ringrazio per la risposta così esauriente. In realtà, ho notato di aver azzeccato "per sbaglio" anche un altro esercizio, sempre sulla distribuzione di Poisson, per colpa del fraintendimento sui favorevoli/possibili. Comunque ora li ho corretti entrambi. Riguardo l'esercizio del 1° post, sulla distribuzione geometrica:
$P(2X<9|3X>4)=(P((X<9/2) nn (X>4/3)))/(P(X>4/3))=(P(4/34/3))=(P(X=2)+P(X=3)+P(X=4))/(1-P(X<=4/3))$
con $P(X=2)=3/16, P(X=3)=9/64, P(X=4)=27/256$
e poiché \(P(X\le x)=\sum_{r=1}^x p(1-p)^{r-1}= 1-(1-p)^{x}\)
con $P(X<=4/3)=1-(1-1/4)^(4/3)=1-(3/4)^(4/3)=0,3186$
In definitiva, $alpha=(0,4336)/(0,6814)=0,6363$. Però il risultato del libro è $alpha=37/64=0,5781$. Poi un'altra cosa. Visto che $X$ è naturale, come abbiamo fatto anche poco fa $P(X<=4/3)=P(X=0)+P(X=1)=7/12 rarr 1-P(X<=4/3)=5/12=0,4267$, diverso dallo $0,6363$ di prima. In ogni caso, qui sarebbe $alpha=(0,4336)/(0,4267)=1,02>1$, il che è impossibile. Quindi, anche se sei stato chiarissimo, c'è qualcosa che evidentemente ancora mi sfugge. Qual è? Grazie.
$P(2X<9|3X>4)=(P((X<9/2) nn (X>4/3)))/(P(X>4/3))=(P(4/3
con $P(X=2)=3/16, P(X=3)=9/64, P(X=4)=27/256$
e poiché \(P(X\le x)=\sum_{r=1}^x p(1-p)^{r-1}= 1-(1-p)^{x}\)
con $P(X<=4/3)=1-(1-1/4)^(4/3)=1-(3/4)^(4/3)=0,3186$
In definitiva, $alpha=(0,4336)/(0,6814)=0,6363$. Però il risultato del libro è $alpha=37/64=0,5781$. Poi un'altra cosa. Visto che $X$ è naturale, come abbiamo fatto anche poco fa $P(X<=4/3)=P(X=0)+P(X=1)=7/12 rarr 1-P(X<=4/3)=5/12=0,4267$, diverso dallo $0,6363$ di prima. In ogni caso, qui sarebbe $alpha=(0,4336)/(0,4267)=1,02>1$, il che è impossibile. Quindi, anche se sei stato chiarissimo, c'è qualcosa che evidentemente ancora mi sfugge. Qual è? Grazie.
Perfetto, ora è tutto più chiaro. Grazie.
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