Probabilità con combinazioni
Salve,
vi propongo un esercizio e vi dico come ho provato a risolverlo:
Una squadra di operai edili deve essere composta da due muratori e quattro manovali, scelti da un totale di cinque muratori e sei manovali.
a. Quante diverse combinazioni sono possibili?
b. Il fratello di uno dei muratori è un manovale: se la squadra è formata in modo casuale, qual è la probabilità che siano scelti entrambi i fratelli?
c. Qual è la probabilità che nessuno dei fratelli sia scelto?
Riflessione:
L'ordine non conta, quindi utilizzerò le combinazioni.
PUNTO A:
Le combinazioni di due muratori scelti da cinque possibili sono date da:
$((5),(2))$ = $(5!)/(2!(5-2)!)$ = $(5!)/(2!3!)$ = $((5)(4)(3!))/((2)(3!))$ = $(5)(2)$ = $10$
Le combinazioni di quattro manovali scelti tra sei disponibili sono:
$((6),(4))$ = $(6!)/(4!(2)!)$ = $(6!)/((4!)(2))$ = $((6)(5)(4!))/((4!)(2))$ = $((6)(5))/2$ = $15$
Allora le combinazioni possibili di due manovali e quattro muratori sono date da
$(10)(15)$ = $150$
E infatti torna.
PUNTO B:
Adesso viene il problema. La probabilità si può individuare con l'impostazione classica, cosa che mi è data pensare dalla precisazione del testo "se la squadra è formata in modo casuale [...]", ciò porta a pensare che ciascuno abbia le stesse probabilità di essere scelto.
Io l'ho pensata così:
Visto che sono presenti 5 muratori, il muratore ha probabilità $1/5$ di essere selezionato, mentre il manovale ha probabilità $1/6$ di essere selezionato. Visto che le probabilità sono indipendenti, allora eseguirei il prodotto: $P$ $(A $ $nn$ $B)$ = $P(A)P(B)$= $1/30$= 0.03333...
Il libro dà come risultato 0.2667.
Dove sbaglio?
Grazie!
vi propongo un esercizio e vi dico come ho provato a risolverlo:
Una squadra di operai edili deve essere composta da due muratori e quattro manovali, scelti da un totale di cinque muratori e sei manovali.
a. Quante diverse combinazioni sono possibili?
b. Il fratello di uno dei muratori è un manovale: se la squadra è formata in modo casuale, qual è la probabilità che siano scelti entrambi i fratelli?
c. Qual è la probabilità che nessuno dei fratelli sia scelto?
Riflessione:
L'ordine non conta, quindi utilizzerò le combinazioni.
PUNTO A:
Le combinazioni di due muratori scelti da cinque possibili sono date da:
$((5),(2))$ = $(5!)/(2!(5-2)!)$ = $(5!)/(2!3!)$ = $((5)(4)(3!))/((2)(3!))$ = $(5)(2)$ = $10$
Le combinazioni di quattro manovali scelti tra sei disponibili sono:
$((6),(4))$ = $(6!)/(4!(2)!)$ = $(6!)/((4!)(2))$ = $((6)(5)(4!))/((4!)(2))$ = $((6)(5))/2$ = $15$
Allora le combinazioni possibili di due manovali e quattro muratori sono date da
$(10)(15)$ = $150$
E infatti torna.
PUNTO B:
Adesso viene il problema. La probabilità si può individuare con l'impostazione classica, cosa che mi è data pensare dalla precisazione del testo "se la squadra è formata in modo casuale [...]", ciò porta a pensare che ciascuno abbia le stesse probabilità di essere scelto.
Io l'ho pensata così:
Visto che sono presenti 5 muratori, il muratore ha probabilità $1/5$ di essere selezionato, mentre il manovale ha probabilità $1/6$ di essere selezionato. Visto che le probabilità sono indipendenti, allora eseguirei il prodotto: $P$ $(A $ $nn$ $B)$ = $P(A)P(B)$= $1/30$= 0.03333...
Il libro dà come risultato 0.2667.
Dove sbaglio?
Grazie!
Risposte
Se i muratori sono $5$, le coppie sono $10$, ed ognuno di essi è presente in $4$ coppie. Probabilità di ognuno di essi di essere scelto da $4/10$. Probabilità di non essere scelto $6/10$.
Se i manovali sono $6$ le quaterne sono $15$, ed ognuno di essi è presente in $10$ quaterne. Probabilità di ognuno di essi di essere scelto $10/15$. Probabilità di non essere scelto $5/15$.
Probabilità che entrambi i fratelli siano scelti $4/10*10/15=4/15=0,266666666666$.
Probabilità che nessuno dei fratelli sia scelto $6/10*5/15=30/150=1/5=0,2$:
Se i manovali sono $6$ le quaterne sono $15$, ed ognuno di essi è presente in $10$ quaterne. Probabilità di ognuno di essi di essere scelto $10/15$. Probabilità di non essere scelto $5/15$.
Probabilità che entrambi i fratelli siano scelti $4/10*10/15=4/15=0,266666666666$.
Probabilità che nessuno dei fratelli sia scelto $6/10*5/15=30/150=1/5=0,2$:
"superpippone":
Se i muratori sono $5$, le coppie sono $10$, ed ognuno di essi è presente in $4$ coppie. Probabilità di ognuno di essi di essere scelto da $4/10$. Probabilità di non essere scelto $6/10$.
Se i manovali sono $6$ le quaterne sono $15$, ed ognuno di essi è presente in $10$ quaterne. Probabilità di ognuno di essi di essere scelto $10/15$. Probabilità di non essere scelto $5/15$.
Probabilità che entrambi i fratelli siano scelti $4/10*10/15=4/15=0,266666666666$.
Probabilità che nessuno dei fratelli sia scelto $6/10*5/15=30/150=1/5=0,2$:
Grazie mille per la risposta!
Se posso chiedere, come si fa a stabilire che le coppie in cui ciascuno compare sono 4 per i muratori e 10 per i manovali?
A questo punto credo sia questo il mio punto debole.
Grazie in anticipo!
Se le coppie sono $10$ vuol dire che sono presenti $10*2=20$ muratori.
Poichè i muratori sono $5$ vuol dire che ognuno di essi appare $20:5=4$ volte.
Se le quaterne sono $15$ vuol dire che sono presenti $15*4=60$ manovali.
Poichè i manovali sono $6$ vuol dire che ognuno di loro appare $60:6=10$ volte.
Poichè i muratori sono $5$ vuol dire che ognuno di essi appare $20:5=4$ volte.
Se le quaterne sono $15$ vuol dire che sono presenti $15*4=60$ manovali.
Poichè i manovali sono $6$ vuol dire che ognuno di loro appare $60:6=10$ volte.
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