Probabilità che almeno due palline siano rosse?
Ragazzi mi date una mano a svolgere il seguente quesito?
Un'urna contiene 4 palline rosse, 5 verdi e 3 bianche. Calcola la probabilità che estraendo contemporaneamente tre palline:
a) almeno 2 siano rosse (risposta: 13/55)
b) siano tutte verdi o tutte rosse (risposta: 7/110)
Io ho provato cosi per il primo quesito:
a)
Le probabilità che escano le tre palle rosse in successione:
$ P1r = 4/12 = 1/3 $ ( estrazione prima palla rossa )
$ P2r = 3/11 $ ( estrazione seconda palla rossa )
$ P3r = 2/10 = 1/5 $ ( estrazione terza palla rossa )
La probabilità che almeno due siano rosse la esprimo concettualmente cosi':
La 1° e la 2° sono entrambe rosse oppure la 2° e la 3° sono entrambe rosse oppure sono entrambe rosse la 1° e la 3°
$ P = (1/3 * 3/11) + (3/11 * 1/5) + (1/3 * 1/5) = 7/33 $ ( quindi il risultato non torna )
Dove sbaglio?
Invece il secondo mi esce giusto:
b)
$ P1v = 5/12 $
$ P2v = 4/11 $
$ P3v = 3/10 $
$ P = (1/3 * 3/11 * 1/5) + (5/12 * 4/11 * 3/10) = 7/110 $
Un'urna contiene 4 palline rosse, 5 verdi e 3 bianche. Calcola la probabilità che estraendo contemporaneamente tre palline:
a) almeno 2 siano rosse (risposta: 13/55)
b) siano tutte verdi o tutte rosse (risposta: 7/110)
Io ho provato cosi per il primo quesito:
a)
Le probabilità che escano le tre palle rosse in successione:
$ P1r = 4/12 = 1/3 $ ( estrazione prima palla rossa )
$ P2r = 3/11 $ ( estrazione seconda palla rossa )
$ P3r = 2/10 = 1/5 $ ( estrazione terza palla rossa )
La probabilità che almeno due siano rosse la esprimo concettualmente cosi':
La 1° e la 2° sono entrambe rosse oppure la 2° e la 3° sono entrambe rosse oppure sono entrambe rosse la 1° e la 3°
$ P = (1/3 * 3/11) + (3/11 * 1/5) + (1/3 * 1/5) = 7/33 $ ( quindi il risultato non torna )
Dove sbaglio?
Invece il secondo mi esce giusto:
b)
$ P1v = 5/12 $
$ P2v = 4/11 $
$ P3v = 3/10 $
$ P = (1/3 * 3/11 * 1/5) + (5/12 * 4/11 * 3/10) = 7/110 $
Risposte
Procedi così: considera l'evento $E_i : \text{ esce rossa all'i-esima estrazione }$. L'evento che interessa a te è allora:
\[ A = (E_1 \wedge E_2 \wedge \overline{E}_3 ) \vee ( E_1 \wedge \overline{E}_2 \wedge {E}_3 ) \vee ( \overline{E}_1 \wedge E_2 \wedge {E}_3 ) \vee (E_1 \wedge E_2 \wedge E_3) \]
I 4 eventi qui sopra di cui $A$ risulta disgiunzione sono incompatibili. Quindi
\[ \text{Pr}(A) = \text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge \overline{E}_3 ) + \text{Pr}( E_1 \wedge \overline{E}_2 \wedge {E}_3 ) + \text{Pr}( \overline{E}_1 \wedge E_2 \wedge {E}_3 ) + \text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge E_3)\]
Visto il modello di estrazione \[ \text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge \overline{E}_3 ) = \text{Pr}( E_1 \wedge \overline{E}_2 \wedge {E}_3 ) = \text{Pr}( \overline{E}_1 \wedge E_2 \wedge {E}_3 )\]
\[ \text{Pr}(A) = 3 \underbrace{\text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge \overline{E}_3 )}_{\text{si può calc. via distribuzione ipergeometrica}} + \underbrace{\text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge E_3)}_{\text{via distribuzione ipergeometrica}}\]
EDIT: Ho corretto alcune sviste.
\[ A = (E_1 \wedge E_2 \wedge \overline{E}_3 ) \vee ( E_1 \wedge \overline{E}_2 \wedge {E}_3 ) \vee ( \overline{E}_1 \wedge E_2 \wedge {E}_3 ) \vee (E_1 \wedge E_2 \wedge E_3) \]
I 4 eventi qui sopra di cui $A$ risulta disgiunzione sono incompatibili. Quindi
\[ \text{Pr}(A) = \text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge \overline{E}_3 ) + \text{Pr}( E_1 \wedge \overline{E}_2 \wedge {E}_3 ) + \text{Pr}( \overline{E}_1 \wedge E_2 \wedge {E}_3 ) + \text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge E_3)\]
Visto il modello di estrazione \[ \text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge \overline{E}_3 ) = \text{Pr}( E_1 \wedge \overline{E}_2 \wedge {E}_3 ) = \text{Pr}( \overline{E}_1 \wedge E_2 \wedge {E}_3 )\]
\[ \text{Pr}(A) = 3 \underbrace{\text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge \overline{E}_3 )}_{\text{si può calc. via distribuzione ipergeometrica}} + \underbrace{\text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge E_3)}_{\text{via distribuzione ipergeometrica}}\]
EDIT: Ho corretto alcune sviste.
Ti ringrazio!
Ciao ragazzi, sono anche io alle prese con questo esercizio e volevo solamente porre una domanda: come faccio a determinare \(\\{Pr}(A) = 3 \underbrace{\text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge \overline{E}_3 )}_{\text{si può calc. via distribuzione ipergeometrica}} + \underbrace{\text{Pr}(E_1 \wedge E_2 \wedge E_3)}_{\text{via distribuzione ipergeometrica}} \)? Scusate la mia ignoranza ma alle superiori la distribuzione ipergeometrica non l' abbiamo mai accennata. Grazie 
Per la prima domanda.
La probabilità che ci siano tre rosse è $4/12*3/11*2/10=1/55$
La probabilità che siano due rosse è $4/12*3/11*8/10*3=12/55$
Quindi la probabilità che siano almeno due rosse è $1/55+12/55=13/55$
La probabilità che ci siano tre rosse è $4/12*3/11*2/10=1/55$
La probabilità che siano due rosse è $4/12*3/11*8/10*3=12/55$
Quindi la probabilità che siano almeno due rosse è $1/55+12/55=13/55$
Grazie 1000, domani ho la 2a prova di maturità (matematica) spero che questo argomento mi torni utile!! 
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