Probabilità capelli rossi

[Titoaguero]

E’ noto che la percentuale di persone che hanno i capelli rossi in Piemonte, in Sardegna e nelle
Marche è rispettivamente del 5%, 1% e 2%. Le tre regioni hanno rispettivamente 4.5, 2, 1.5 milioni di abitanti.
Calcolare la probabilità che la regione di origine di una persona, scelta a caso tra gli abitanti delle tre regioni, sia il Piemonte, supposto che abbia i capelli rossi.
[0.8882]

Io ho proceduto così
R|P= piemontese coi capelli rossi P(R|P)=0.05
R|S= sardo coi capelli rossi P(R|S)=0.01
R|A= marchigiano coi capelli rossi P(R|A)=0.02

Per trovare le probabilità che una persona qualsiasi sia piemontese sardo o marchigiano ho fatto Popolazione della regione / Popolazione totale e ho ottenuto
P= persona piemontese = 4.5/8= 0.5625
S= persona sarda = 2/8= 0.25
M= persona marchigiana = 1.5/8= 0.19

Per trovare la P che una persona qualsiasi abbia i capelli rossi ho fatto:
P(R)= P(R|P)*P(P) + P(R|S)*P(S) + P(R|M)*P(M) = (0.05*0.5625)+(0.01*0.25)+(0.02*0.19) =
0.028125+0.0025+0.0038=0.034425

Per trovare che una persona coi capelli rossi venga dal piemonte ho fatto
P(P|R)= P(R|P)*P(P) / P(R) = (0.05*0.05625)/0.034425 = 0.817

Il risultato mi viene un pò diverso da quello del libro. Voleva sapere se il procedimento è giusto e se è solo un problema di approssimazioni. Grazie in anticipo:)

[Intermat]

Lo ho svolto senza guardare la tua soluzione...e mi viene il tuo stesso risultato...strano che ci sia un errore sul libro (capita...ma sinceramente sui libri su cui studio abitualmente è raro!)...però obiettivamente mi sembra si debba applicare semplicemente Bayes e il teorema della probabilità totale.

[superpippone]

Confermo anch'io.
A me viene $9/11=0,81818181$

[Titoaguero]

In realtà non è un libro ma un fila pdf dove sono raccolti tutti i vecchi esami di matematica e con affianco le soluzioni. Probabilmente gli esercizi li ha svolti il professore e in questo può aver fatto un errore