Probabilità bridge
Salve ragazzi, sono appena tornato da una prova scritta di teoria dei fenomeni aleatori.
Il primo esercizio diceva:
Nel bridge l'intero mazzo di carte da gioco è suddiviso tra 4 giocatori. Si calcoli la probabilità che uno dei giocatori riceva 13 carte di picche.
Io ho considerato 4 eventi:
A=[ il giocatore 1 riceve una carta di picche ]
B= [ giocatore 2 riceve una carta non di picche ]
C= [Giocatore 3 " " ]
D = [Giocatore 4 " " ]
e ho calcolato la probilità dell'evento congiunto ABCD mediante la regola della catena:
$P(ABCD)=P(A|BCD)P(B|CD)P(C|D)P(D)$.
Dove
$P(D)=3/4$
$P(C|D)= 38/51$
$P(B|CD)= 37/50$
$P(A|BCD)= 13/49$
Dopo aver calcolato la probabilità dell'evento congiunto, ho elevato alla 13...
Pensate possa aver fatto bene?
Grazie
Il primo esercizio diceva:
Nel bridge l'intero mazzo di carte da gioco è suddiviso tra 4 giocatori. Si calcoli la probabilità che uno dei giocatori riceva 13 carte di picche.
Io ho considerato 4 eventi:
A=[ il giocatore 1 riceve una carta di picche ]
B= [ giocatore 2 riceve una carta non di picche ]
C= [Giocatore 3 " " ]
D = [Giocatore 4 " " ]
e ho calcolato la probilità dell'evento congiunto ABCD mediante la regola della catena:
$P(ABCD)=P(A|BCD)P(B|CD)P(C|D)P(D)$.
Dove
$P(D)=3/4$
$P(C|D)= 38/51$
$P(B|CD)= 37/50$
$P(A|BCD)= 13/49$
Dopo aver calcolato la probabilità dell'evento congiunto, ho elevato alla 13...
Pensate possa aver fatto bene?
Grazie
Risposte
Il tuo procedimento non mi sembra corretto.
Ritengo che la soluzione sia:
$(39!*13!)/(52!)*4$
Ritengo che la soluzione sia:
$(39!*13!)/(52!)*4$
$(52!)/(13!*13!*13!*13!) $ queste sono le possibili diverse assegnazioni. Di queste solo 4 sono per te favorevoli, quindi fai 4 divisor quella roba li.
Superpippone ha dato la soluzione corretta, ma credo si necessiti di una spiegazione
Ci sono [tex]\binom{52}{13,13,13,13}[/tex] possibili distribuzioni delle carte ai 4 giocatori.
Questo parte dal fatto che io faccia questo ragionamento:
Il primo giocatore avrà una combinazione delle 52 carte di 13 in 13 e quindi $((52),(13))$ il secondo avrà anch'egli una combinazione di 13 in 13 ma partendo da 39 carte $((39),(13))$; il terzo partendo da 26: $((26),(13))$ l'ultimo avrà solo quella possibile combinazione $((13),(13)) = 1$.
Moltiplichiamo:
$(52!)/(13!*39!) * (39!)/(13!*26!) * (26!)/(13!*13!) * 1$ semplifico quello che si può semplificare mi resta:
$(52!)/(13!*13!*13!*13!)$ //
Ora cerchiamo quante sono le distribuzioni che soddisfano il fatto che un giocatore abbia 13 carte di picche. Fissiamo perciò 13 carte che devono essere di picche, queste le può avere uno qualsiasi dei 4 giocatori. Le rimanenti si dividono $((39),(13))$ al secondo, $((26),(13))$ al terzo e le rimanenti al quarto. Il risultato perciò è:
\[ \frac{4 \cdot \binom{39}{13,13,13}}{\binom{52}{13,13,13,13}} \simeq 6,3 \cdot 10^{-12} \]
EDIT: spiego anche perchè dino boll sbaglia: i casi in che mi vanno bene non sono solo 4 (ovvero che ognuno dei 4 giocatori possa avere tutte le carte di picche) perchè per ogni caso che un giocatore x ha tutte picche gli altri possono avere svariate combinazioni diverse di carte. Facciamo un esempio su un mazzo da 12 carte, 3 per seme.
Se fisso che A abbia tutte picche posso avere:
A: PPP
B: FFF
C: CCC
D: QQQ
ma anche:
A: PPP
B: FQQ
C: QFC
D: CCF
e questi sono due casi che tu conti come singolo. Ovviamente se li guardi sulle 52 carte sono molti di più ma l'esempio è per darti una idea.
Ci sono [tex]\binom{52}{13,13,13,13}[/tex] possibili distribuzioni delle carte ai 4 giocatori.
Questo parte dal fatto che io faccia questo ragionamento:
Il primo giocatore avrà una combinazione delle 52 carte di 13 in 13 e quindi $((52),(13))$ il secondo avrà anch'egli una combinazione di 13 in 13 ma partendo da 39 carte $((39),(13))$; il terzo partendo da 26: $((26),(13))$ l'ultimo avrà solo quella possibile combinazione $((13),(13)) = 1$.
Moltiplichiamo:
$(52!)/(13!*39!) * (39!)/(13!*26!) * (26!)/(13!*13!) * 1$ semplifico quello che si può semplificare mi resta:
$(52!)/(13!*13!*13!*13!)$ //
Ora cerchiamo quante sono le distribuzioni che soddisfano il fatto che un giocatore abbia 13 carte di picche. Fissiamo perciò 13 carte che devono essere di picche, queste le può avere uno qualsiasi dei 4 giocatori. Le rimanenti si dividono $((39),(13))$ al secondo, $((26),(13))$ al terzo e le rimanenti al quarto. Il risultato perciò è:
\[ \frac{4 \cdot \binom{39}{13,13,13}}{\binom{52}{13,13,13,13}} \simeq 6,3 \cdot 10^{-12} \]
EDIT: spiego anche perchè dino boll sbaglia: i casi in che mi vanno bene non sono solo 4 (ovvero che ognuno dei 4 giocatori possa avere tutte le carte di picche) perchè per ogni caso che un giocatore x ha tutte picche gli altri possono avere svariate combinazioni diverse di carte. Facciamo un esempio su un mazzo da 12 carte, 3 per seme.
Se fisso che A abbia tutte picche posso avere:
A: PPP
B: FFF
C: CCC
D: QQQ
ma anche:
A: PPP
B: FQQ
C: QFC
D: CCF
e questi sono due casi che tu conti come singolo. Ovviamente se li guardi sulle 52 carte sono molti di più ma l'esempio è per darti una idea.
Ok grazie per il chiarimento
Mi riallaccio a questo topic dato che sto sbattendo la testa su un esercizio molto simile, che richiede di calcolare la prob. che i giocatori NORD-SUD abbiano totalmente 8 picche.
Come si ragiona in questo caso?
Come si ragiona in questo caso?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo