Probabilità Bersaglio

[Bluff1]

Ciao, ho svolto questo esercizio ma vorrei conferme sul risultato:
Un arciere ha a disposizione 4 archi scadenti ed un arco buono. La probabilità di fare centro con quello buono è di $1/3$ mentre con quelli scadenti è di $1/4$. Prima di ogni tiro l'arciere sceglie l'arco a caso. Calcolare:
- la probabilità che faccia centro con un solo tiro
- posto d'aver fatto centro si calcoli la probabilità che l'arco usato sia quello buono
- calcolare la probabilità che con due tiri si colga il bersaglio almeno una volta

Io ho ragionato in tal modo, nella peggiore delle ipotesi usa l'arco scadente e quindi la probabilità che faccia centro con un solo tiro è $1/4$. Supponendo poi che abbia fatto centro la probabilità di aver usato l'arco buono è ${1/3 1/4}/{1/4}$ ed infine con due tiri può avere le seguenti casistiche con NC=non centra e C=centra:
NC-C e avrei $1/4 3/4$

C-NC e avrei $3/4 1/4$

C-C e avrei $1/4 1/4$

è giusto procedere così o no?

[Lory902]

Forse dovresti tenere d'occhio anche il fatto che l'arco viene scelto a caso. Io non so aiutarti e non vorrei dirti cose fuorvianti.

[frasorr]

riguardo il punto 1 e 2 ho fatto il seguente ragionamento:
Pr(B)=probabilità di prendere l'arco buono=1/5
Pr(s)=probabilità di prendere l'arco scadente=4/5
Pr(C|B)=pr di fare centro nella condizione di utilizzare l'arco buono=1/3
Pr(C|S)= pr di fare centro nella condizione di utilizzare l'arco scadente=1/4
La probabilità che faccia centro con un solo tiro=
probabilità di prendere a caso l'arco buono*pr di fare centro con tale arco + probabiltà di prendere a caso l'arco scadente*la probabilità di fare centro con tale arco=
$Pr(B)*Pr(C|B)+Pr(S)*Pr(C|S)=1/5*1/3+4/5*1/4=0.06667+1/5=0.2667$

per il punto 2 io userei la formula di Bayes:
$Pr(B|C)=[ Pr(B)*Pr(C|B)]/[Pr(B)*Pr(C|B)+Pr(S)*Pr(C|S)]$
$=(1/5*1/3)/[(1/5*1/3)+(4/5*1/4)]=0.667/(0.667+0.2)=0.76$

[frasorr]

anche il punto c credo sia sbagliato,i casi sono giusti:
NC.C
C.NC
C.C
però devi vedere bene quanto valgono
se il primo tiro non vuoi fare centro devi cmq vedere quanto vale la probabilità di non fare centro al primo tiro, e questa è sempre condizionata alla scelta dell'arco.
ad esempio se prendi l'arco buono con pr 1/5 la probabilità di non fare centro sarà 2/3
+ la probabilità di non fare centro prendendo l'arco scadente= 4/5(ho preso l'arco scadente)*3/4(non ho fatto centro)
+la probabilità adesso di fare centro,ma anche questa volta dipende prima che arco hai usato, infatti se per il primo tiro hai usato l'arco buono adesso ti toccherà usare con pr 4/4 l'arco scadente e la pr di fare centro è 1/4, mentre se per il primo tiro hai usato l'arco scadente(e ti ricordo che non hai fatto centro) adesso potresti pescare sia l'arco buono sia di nuovo uno scadente poichè ne sono rimasti altri 3 scadenti.
beh qui c'è cmq da vedere se una volta utilizzato l'arco si può sempre riutilizzare, tuttavia credo di no, quindi si dovrebbe fare il mio ragionamento..

questo lo fai anche per le altre C.NC e CC
spero di esserti stata d'aiuto!

[retrocomputer]

"francescas88":
per il punto 2 io userei la formula di Bayes:
$Pr(B|C)=[ Pr(B)*Pr(C|B)]/[Pr(B)*Pr(C|B)+Pr(S)*Pr(C|S)]$
$=(1/5*1/3)/[(1/5*1/3)+(4/5*1/4)]=0.667/(0.667+0.2)=0.76$

Ho seguito lo stesso procedimento e penso che vada bene. C'è solo forse un errore di calcolo, anzi, penso che ti sia solo dimenticata di mettere uno $0$, visto che sopra avevi calcolato giusto: bisogna mettere $0.0667$ al posto di $0.667$ e ovviamente correggere il risultato finale.

[retrocomputer]

"francescas88":
beh qui c'è cmq da vedere se una volta utilizzato l'arco si può sempre riutilizzare, tuttavia credo di no, quindi si dovrebbe fare il mio ragionamento..

Infatti nemmeno io ho capito se l'arco usato per il primo tiro viene accantonato o mischiato con gli altri prima della seconda scelta... Comunque penso si capisca bene che siamo di fronte a una estrazione di palline (una bianca e 4 nere, per esempio) da un'urna...