Probabilità associata agli eventi di una sigma-algebra
Mi sono visto un po' di concetti base di statistica/probabilità riguardo a un esperimento casuale(aleatorio) ma trovo un po' di difficoltà nell'assegnare la probabilità ai vari eventi della $ sigma $ -algebra considerata:
immaginiamo che l'esperimento sia "lancio di una moneta"...
lo spazio campionario sarà $ Omega ={T,C} $ ovvero altro non sono che i singoli esiti possibili.
Ora da quanto ho capito per assegnare un valore di probabilità a ciascun evento è necessario considerare una $ sigma $ -algebra costruita sul nostro spazio campionario $ Omega ={T,C} $.
Io so che un certo insieme $ xi $ per costituire una $ sigma $ -algebra su $ Omega $ deve rispettare alcune proprietà fondamentali quali:
1) $ O/ ,Omega in xi $
2)se l'evento $ E_1inxi $ allora anche il complementare $ bar(E_1) inxi $
3) l'unione di più elementi(sottoinsiemi) $ (E_i) inxi $ deve dare ancora un elemento(sottoinsieme) $ (E_j) inxi $
ora considerando questa definizione e applicandola al mio semplice esempio" lancio di una moneta non truccata" ho che:
$ Omega ={T,C} $
una possibile $ sigma$-algebra è $xi ={O/ ,T,C,(T,C)} $ che costituisce anche l'insieme delle parti $ P(Omega ) $
Ora considerando questa algebra come posso associare a ciascun evento $ E_i inxi $ un corrispettivo $ p_i(E_i) $ in modo da rispettare la condizione di normalizzazione $ P_(TOT) =1 $ ??
ad esempio la prob. che esca testa...?
in genere io so che i risultati possibili sono due: croce o appunto testa...a intuito visto che il dado non è truccato allora la probabilità che esca testa è $ 1/2 $ s similmente coincide anche con la probabilità che esca croce...la loro somma da 1 ,rispettando la condizione di normalizzazione.
MA ciò che ho fatto è un qualcosa di intuitivo ottenuto di fatto considerando la $ sigma $ -algebra $ xi ={O/ ,T,C} $...e direi che funziona visto che $ P_(TOT=1 $ .
Ora se considero la $ sigma $ -algebra $ xi ={O/ ,T,C,(T,C)} $ come faccio ad attribuire le varie probabilità ai vari eventi dell'insieme in modo che la loro somma dia 1?
GRAZIE
attraverso la variabile casuale $ X:Omega ->R $ cosi definita
immaginiamo che l'esperimento sia "lancio di una moneta"...
lo spazio campionario sarà $ Omega ={T,C} $ ovvero altro non sono che i singoli esiti possibili.
Ora da quanto ho capito per assegnare un valore di probabilità a ciascun evento è necessario considerare una $ sigma $ -algebra costruita sul nostro spazio campionario $ Omega ={T,C} $.
Io so che un certo insieme $ xi $ per costituire una $ sigma $ -algebra su $ Omega $ deve rispettare alcune proprietà fondamentali quali:
1) $ O/ ,Omega in xi $
2)se l'evento $ E_1inxi $ allora anche il complementare $ bar(E_1) inxi $
3) l'unione di più elementi(sottoinsiemi) $ (E_i) inxi $ deve dare ancora un elemento(sottoinsieme) $ (E_j) inxi $
ora considerando questa definizione e applicandola al mio semplice esempio" lancio di una moneta non truccata" ho che:
$ Omega ={T,C} $
una possibile $ sigma$-algebra è $xi ={O/ ,T,C,(T,C)} $ che costituisce anche l'insieme delle parti $ P(Omega ) $
Ora considerando questa algebra come posso associare a ciascun evento $ E_i inxi $ un corrispettivo $ p_i(E_i) $ in modo da rispettare la condizione di normalizzazione $ P_(TOT) =1 $ ??
ad esempio la prob. che esca testa...?
in genere io so che i risultati possibili sono due: croce o appunto testa...a intuito visto che il dado non è truccato allora la probabilità che esca testa è $ 1/2 $ s similmente coincide anche con la probabilità che esca croce...la loro somma da 1 ,rispettando la condizione di normalizzazione.
MA ciò che ho fatto è un qualcosa di intuitivo ottenuto di fatto considerando la $ sigma $ -algebra $ xi ={O/ ,T,C} $...e direi che funziona visto che $ P_(TOT=1 $ .
Ora se considero la $ sigma $ -algebra $ xi ={O/ ,T,C,(T,C)} $ come faccio ad attribuire le varie probabilità ai vari eventi dell'insieme in modo che la loro somma dia 1?
GRAZIE
attraverso la variabile casuale $ X:Omega ->R $ cosi definita
Risposte
Grazie per la risposta!
Effettivamente ho chiesto aiuto perchè mi pareva strano che la semplice somma delle probabilità associate agli eventi della singola $ sigma $-algebra dia $ 1 $ ,in quanto gia solo la somma degli eventi elementari darebbe uno.
Ritornando al mio caso,ovvero al lancio di una moneta equiprobabile" dato la $ sigma $-algebra $ xi ={O/ ,T,C,(T,C)} $
le probabilità che si realizzino i singoli eventi sono:
$ p(O/ )=0 $
$ p(T )=1/2 $
$ p(C )=1/2 $
$ p(T,C )=1/2+1/2=1 $
ora mi hai detto che non ha senso fare la somma "canonica" delle probabilità di questi eventi(si troverebbe 2) ma per considerare la probabilità totale dovrei usare le formule che mi hai linkato giusto?
cioè ,per due singoli eventi:
$ P(E_1uu E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1nn E_2) $
che corrisponde alla formula piu generale possibile....se poi i due eventi sono incompatibili,se cioè $ P(E_1nn E_2)= O/ $ ,allora la precedente formula si riduce alla semplice somma delle singole probabilità.
Ma nel mio caso,considerando la mia sigma algebra,come faccio a capire se gli eventi sono incompatibili...?
per esempio gli eventi $ A=T $ e $ B=C $ sono INCOMPATIBILI in quanto $ P(TnnC) = O/ $ (i due insiemi non hanno elementi in comune)
discorso simile per gli eventi $ T,C,(T,C) $ nei confronti dell'evento nullo $ O/ $
ma se si considera infine
$ P[(T,C)nn T] = T $
$ P[(T,C)nn C] = C $
si ha che tali eventi sono NON INCOMPATIBILI.
Perciò mi trovo nella situazione in cui ho alcuni elementi a due a due incompatibili tra loro e altri che sono sempre a due a due NON incompatibili tra loro: per calcolare $ P[O/,T,C,(T,C)]=P[O/uuTuuCuu(T,C)] $ cosa devo applicare?
visto che alcuni eventi sono tra loro incompatibili e altri non incompatibili mi pare che debba usare la formula PIU GENERALE,ovvero quella che tiene conto delle varie intersezioni(poi per due eventi tra loro incompatibili sarà zero)?
Inoltre altro piccolo dubbio: sento parlare spesso su alcuni siti di spazio campionario e spazio degli eventi come due concetti analoghi mentre in altro trovo una distinzione netta in cui lo spazio campionario $ Omega $ coincide ovviamente con l'insieme di tutti i possibili risultati elementari(esiti)di un esperimento, mentre lo spazio degli eventi altro non è che l'insieme che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi di $ Omega $ ,ovvero altro non è che l'insieme delle parti $ P(Omega) $
Tu come interpreti questi due concetti? in modo del tutto analogo oppure nel secondo modo?
grazie
Effettivamente ho chiesto aiuto perchè mi pareva strano che la semplice somma delle probabilità associate agli eventi della singola $ sigma $-algebra dia $ 1 $ ,in quanto gia solo la somma degli eventi elementari darebbe uno.
Ritornando al mio caso,ovvero al lancio di una moneta equiprobabile" dato la $ sigma $-algebra $ xi ={O/ ,T,C,(T,C)} $
le probabilità che si realizzino i singoli eventi sono:
$ p(O/ )=0 $
$ p(T )=1/2 $
$ p(C )=1/2 $
$ p(T,C )=1/2+1/2=1 $
ora mi hai detto che non ha senso fare la somma "canonica" delle probabilità di questi eventi(si troverebbe 2) ma per considerare la probabilità totale dovrei usare le formule che mi hai linkato giusto?
cioè ,per due singoli eventi:
$ P(E_1uu E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1nn E_2) $
che corrisponde alla formula piu generale possibile....se poi i due eventi sono incompatibili,se cioè $ P(E_1nn E_2)= O/ $ ,allora la precedente formula si riduce alla semplice somma delle singole probabilità.
Ma nel mio caso,considerando la mia sigma algebra,come faccio a capire se gli eventi sono incompatibili...?
per esempio gli eventi $ A=T $ e $ B=C $ sono INCOMPATIBILI in quanto $ P(TnnC) = O/ $ (i due insiemi non hanno elementi in comune)
discorso simile per gli eventi $ T,C,(T,C) $ nei confronti dell'evento nullo $ O/ $
ma se si considera infine
$ P[(T,C)nn T] = T $
$ P[(T,C)nn C] = C $
si ha che tali eventi sono NON INCOMPATIBILI.
Perciò mi trovo nella situazione in cui ho alcuni elementi a due a due incompatibili tra loro e altri che sono sempre a due a due NON incompatibili tra loro: per calcolare $ P[O/,T,C,(T,C)]=P[O/uuTuuCuu(T,C)] $ cosa devo applicare?
visto che alcuni eventi sono tra loro incompatibili e altri non incompatibili mi pare che debba usare la formula PIU GENERALE,ovvero quella che tiene conto delle varie intersezioni(poi per due eventi tra loro incompatibili sarà zero)?
Inoltre altro piccolo dubbio: sento parlare spesso su alcuni siti di spazio campionario e spazio degli eventi come due concetti analoghi mentre in altro trovo una distinzione netta in cui lo spazio campionario $ Omega $ coincide ovviamente con l'insieme di tutti i possibili risultati elementari(esiti)di un esperimento, mentre lo spazio degli eventi altro non è che l'insieme che ha per elementi tutti i possibili sottoinsiemi di $ Omega $ ,ovvero altro non è che l'insieme delle parti $ P(Omega) $
Tu come interpreti questi due concetti? in modo del tutto analogo oppure nel secondo modo?
grazie
molto chiaro,grazie!!
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