Probabilità

[_prime_number]

Ciao!
Vorrei una conferma sul mio svolgimento di questo quesito, giusto per essere sicura, dato che ho qualche incertezza in probabilità.
Un'urna contiene 100 palline di 3 colori, 30 bianche, 20 nere e 50 rosse. Si effettuano 10 estrazioni senza reimbussolamento. Sia X il numero aleatorio che rappresenta il numero di bianche estratte, Y quello delle nere estratte.
Determinare:
- I(X,Y) (insieme dei valori possibili di (X,Y))
- la probabilità P(X=k, Y=j) dove (k,j) $\in$ I(X,Y)

Io ho fatto così:
I(X,Y)={(k,j) $\in N^2$ | k+j $<=$10}
P(X=k, Y=j)= $( ((30),(k)) ((20),(j)) )/( ((100),(10)) )$

E' ok? Grazie a chi mi risponderà!

Paola

[Kroldar]

"prime_number":
Io ho fatto così:
I(X,Y)={(k,j) $\in N^2$ | k+j $<=$10}
P(X=k, Y=j)= $( ((30),(k)) ((20),(j)) )/( ((100),(10)) )$

Proviamo a calcolare la probabilità che il numero di palline bianche e nere estratte sia $0$, dunque $k=0$ e $j=0$.

Dalla tua formula, risulta

$( ((30),(0)) ((20),(0)) )/( ((100),(10)) ) = 1/( ((100),(10)) ) = 1/((100!)/((10!)(90!))) = (10!)/((100!)/(90!))$

Proviamo altresì a calcolare la stessa probabilità ragionando in modo diverso: se le palline bianche e nere estratte sono $0$ vuol dire che sono state estratte $10$ palline rosse e, considerando ogni estrazione indipendente dalle altre, risulta

$50/100 * 49/99 * 48/98 * ... * 42/92 * 41/91 = ((50!)/(40!)) / ((100!)/(90!))$

che è un risultato diverso da quello calcolato in precedenza

[Cheguevilla]

Cara Paola, caro Kroldar, i vostri ragionamenti non sono sbagliati ma solo incompleti.
Riprendiamo la formula della V.A. ipergeometrica postata da Paola: questa è valida solo se $k+j=10$.
Ma noi non abbiamo assolutamente questa certezza, pertanto dobbiamo prevedere anche la possibile uscita di palline rosse, in numero pari a $10-k-j$.
Quindi, ricapitolando, risulta:
$P(X=k,Y=j)=( ((30),(k))((20),(j))((50),(10-k-j)) )/(((100),(10)))$
Se ti può aiutare in futuro, nell'ipergeometrica, la somma dei termini superiori dei coefficienti binomiali del numeratore deve essere uguale al termine superiore del coefficiente binomiale a denominatore. La stessa cosa vale per i termini inferiori. Ovvero:
$P(K_1=k_1, K_2=k_2,...,K_m=k_m)=( ((n_1),(k_1))((n_2),(k_2))...((n_m),(k_m)))/(((sum_(i=1)^mn_i),(sum_(j=1)^mk_j)))$

[_prime_number]

Ho capito, avevo dimenticato un bel pezzettone di ragionamento!!!

Grazie mille a tutti e 2!

Paola