[Prob, v.a.] Correzione esercizio e consiglio per risoluzione al punto C
Buongiorno a tutti 
Ho cercato di svolgere il seguente esercizio di probabilità con variabili aleatorie e vorrei sapere se i passaggi che ho fatto sono corretti e se possibile, vorrei qualche input per svolgere il punto C... di seguito la traccia:
Si consideri una sequenza di 3 simboli binari (b2, b1, b0), con probabilità del simbolo 1 pari a 0.6 e la variabile aleatoria $X =sum_(i = 0)^(2) bi*2^i $ che corrisponde alla conversione decimale della sequenza. Definire:
A) L'alfabeto di X
B) La PMF di X
C) la probabilità degli eventi ${X<=2}$ e ${X>= 4.5}$
Punto A
$Omega = 2^3$
Punto B
La PMF è definita come: $f_x = P(X=x)$ e nel mio caso, dato che X è dato da $ X =sum_(i = 0)^(2) bi*2^i $, dovrò calcolare $P(X=0)$, $P(X=1)$ e $P(X=2)$ tenendo presente che $bi$ può assumere valore $0$ ed $1$.
Detto ciò ho fatto:
$X=(b0*2^0) + (b1*2^1) + (b2*2^2)$ dove come detto $bn$ può valere $0$ o $1$ (1 ha probabilità 0,6)...
$=[(0*0.4)+(1*0.6)]*1 + [(0*0.4)+(1*0.6)]*2 + [(0*0.4)+(1*0.6)]*4$
$=4,2$
Punto C
Qualsiasi consiglio sulla risoluzione è ben accetto...
Secondo voi il mio procedimento è corretto?
Grazie a tutti coloro che mi aiuteranno
Ho cercato di svolgere il seguente esercizio di probabilità con variabili aleatorie e vorrei sapere se i passaggi che ho fatto sono corretti e se possibile, vorrei qualche input per svolgere il punto C... di seguito la traccia:
Si consideri una sequenza di 3 simboli binari (b2, b1, b0), con probabilità del simbolo 1 pari a 0.6 e la variabile aleatoria $X =sum_(i = 0)^(2) bi*2^i $ che corrisponde alla conversione decimale della sequenza. Definire:
A) L'alfabeto di X
B) La PMF di X
C) la probabilità degli eventi ${X<=2}$ e ${X>= 4.5}$
Punto A
$Omega = 2^3$
Punto B
La PMF è definita come: $f_x = P(X=x)$ e nel mio caso, dato che X è dato da $ X =sum_(i = 0)^(2) bi*2^i $, dovrò calcolare $P(X=0)$, $P(X=1)$ e $P(X=2)$ tenendo presente che $bi$ può assumere valore $0$ ed $1$.
Detto ciò ho fatto:
$X=(b0*2^0) + (b1*2^1) + (b2*2^2)$ dove come detto $bn$ può valere $0$ o $1$ (1 ha probabilità 0,6)...
$=[(0*0.4)+(1*0.6)]*1 + [(0*0.4)+(1*0.6)]*2 + [(0*0.4)+(1*0.6)]*4$
$=4,2$
Punto C
Qualsiasi consiglio sulla risoluzione è ben accetto...
Secondo voi il mio procedimento è corretto?
Grazie a tutti coloro che mi aiuteranno
Risposte
"arnett":
Cosa intendi con "l'alfabeto"? Il supporto? Tu hai scritto che $\Omega=2^3$, ma cosa vuol dire? Intendi $\Omega$ spazio campionario? E lo spazio campionario sarebbe uguale a otto?
L'uguglianza del punto due ancora è priva di senso, intanto perché non stai calcolando la pmf, e inoltre poiché non è vero che $X=4.2$. Sai cos'è la pmf? Ti è chiaro cosa stai cercando?
Ciao e grazie per avermi risposto... Vengo ai punti che hai evidenziato...
A) si, l'alfabeto non è $2^3$ ma dovrebbe essere $(0,1)$ dato che parliamo di bit e possono avere solo due stati. Per quanto riguarda lo spazio campionario (insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento aleatorio) su 3 bit non è $2^3$ ? Questo però giusto per capire perchè non era richiesto dall'esercizio...
B) in effetti l'approccio all'esercizio è poco chiaro perchè ho da poco iniziato a studiare questa parte e vorrei capire... La PMF sarebbe la funzione di probabilità di massa e volevo capire come applicarla praticamente a questo caso e in generale... Ho capito che $X$ è la mia v.a. e $x$ un insieme finito e numerabile di casi, e da qui il fatto di $P(X=x)$ però evidentemente qualcosa mi sfugge...
Scusami non avevo capito la richiesta 
ti riporto la definizione che ha dato il professore a lezione e che ho scritto "Insieme dei valori assunti dalla variabile aleatoria", ad esempio sull'esempio lancio del dado disse: $A_x={1,2,3,4,5,6}$ nel caso fosse una cosa sbagliata o chiamata in altro modo dimmelo così correggo gli appunti 
Per quanto riguarda la questione spazio campionario si, ho fatto confusione con le possibili ombinazioni su tre bit e sono cose molto diverse...
Arrivo finalmente alla tua richiesta... $P(X=x)$ per ogni $x$ dovrebbe essere: $(b_0*2^0) + (b_1*2^1) + (b_2*2^2)$ dove però $b$ essendo un bit può valere sia $1$ che $0$ e quindi $([(1*0.6)+(0*0.4)]*2^0) + ...$ cioè ogni valore del bit moltiplicato per la sua probabilità di uscita...
Spero di aver fatto le cose in modo corretto...
Grazie ancora per la disponibilità
ti riporto la definizione che ha dato il professore a lezione e che ho scritto "Insieme dei valori assunti dalla variabile aleatoria", ad esempio sull'esempio lancio del dado disse: $A_x={1,2,3,4,5,6}$ nel caso fosse una cosa sbagliata o chiamata in altro modo dimmelo così correggo gli appunti Per quanto riguarda la questione spazio campionario si, ho fatto confusione con le possibili ombinazioni su tre bit e sono cose molto diverse...
Arrivo finalmente alla tua richiesta... $P(X=x)$ per ogni $x$ dovrebbe essere: $(b_0*2^0) + (b_1*2^1) + (b_2*2^2)$ dove però $b$ essendo un bit può valere sia $1$ che $0$ e quindi $([(1*0.6)+(0*0.4)]*2^0) + ...$ cioè ogni valore del bit moltiplicato per la sua probabilità di uscita...
Spero di aver fatto le cose in modo corretto...
Grazie ancora per la disponibilità
Nel nostro caso la $X$ può valere o $0$ o $1$ quindi dovrò calcolare per $0$:
$P(X=0) ->$ $X=0$ perchè moltiplicherò tutto per $0$
mentre nel caso di $1$ avrò:
$P(X=1) ->$ $X=6$
speriamo sia la volta buona
$P(X=0) ->$ $X=0$ perchè moltiplicherò tutto per $0$
mentre nel caso di $1$ avrò:
$P(X=1) ->$ $X=6$
speriamo sia la volta buona
"arnett":
Non va bene, e non so neanche come provare a spiegartelo.
Ci provo io... avendo 3 numeri binari puoi avere $2^3$ liste di uni e zeri. Considerando che ogni realizzazione va moltiplicata per $2^i$ la tua variabile sarà costituita dai seguenti eventi elementari
| x_i | p | |
|---|---|---|
| 0 | 0.4^3 | 100 |
| 0.6x 0.4^2 | 010 | 2 |
| 001 | 4 | 0.6x0.4^2 |
| 3 | 0.6^2x0.4 | 101 |
| 0.6^2x0.4 | 011 | 6 |
Ad esempio se prendiamo la realizzazione $101$ il numero aleatorio varrà $1xx2^0+0xx2^1+1xx2^2=5$ a cui assegnamo una probabilità di $0.6xx0.4xx0.6$ ecc ecc
La pmf è dunque
$mathbb(P)[X=0]=0.4^3$
$mathbb(P)[X=1]=0.6xx0.4^2$
$mathbb(P)[X=2]=0.6xx0.4^2$
$mathbb(P)[X=3]=0.6^2xx0.4$
$mathbb(P)[X=4]=0.6xx0.4^2$
$mathbb(P)[X=5]=0.6^2xx0.4$
$mathbb(P)[X=6]=0.6^2xx0.4$
$mathbb(P)[X=7]=0.6^3$
Puoi constatare che la somma di tutte le probabilità dà 1, come deve essere.
In questo modo hai già trovato anche l'alfabeto di X ed è elementare rispondere al punto c): basta sommare le probabilità di interesse
Per favore non quotare ogni volta tutto il messaggio precedente. Devi fare "rispondi" e non "cita"
Scusami i tanti errori ma con la probabilità per entrare nell'ottica faccio difficoltà all'inizio...
Vediamo se finalmente ho capito...
sarebbero tutte le varie combinazioni ottenibili con 3 bit? $(000, 001,...,111)$
Quindi se non ho capito male, questo procedimento và ripetuto per tutte le $X$ che abbiamo scritto prima.
Grazie e scusa ancora gli errori
Vediamo se finalmente ho capito...
"arnett":
$X$ assume i valori $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
sarebbero tutte le varie combinazioni ottenibili con 3 bit? $(000, 001,...,111)$
"arnett":
Quando capita che $X=0$? Quando $b_0=b_1=b_2=0$. Con quale probabilità avviene questo?
...
Quindi se non ho capito male, questo procedimento và ripetuto per tutte le $X$ che abbiamo scritto prima.
Grazie e scusa ancora gli errori
Ciao tommik e grazie per l'aiuto. Tutto chiaro, l'unica cosa che mi sfugge è la seguente:
"Ora non ti resta che sommare le probabilità che danno la stessa realizzazione del numero aleatorio per ottenere la pdf"
Grazie ancora
"Ora non ti resta che sommare le probabilità che danno la stessa realizzazione del numero aleatorio per ottenere la pdf"
Grazie ancora
@Marco
Ti ha appena detto di non quotare TUTTO … non farlo arrabbiare dai
Ti ha appena detto di non quotare TUTTO … non farlo arrabbiare dai
"axpgn":
@Marco
Ti ha appena detto di non quotare TUTTO … non farlo arrabbiare dai
Rettifico subito
"arnett":
...
"tommik":
...
Grazie mille ad entrambi per avermi aiutato... siete stati gentilissimi e super disponibili
grazie veramente di cuore
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