Potenza di un processo Aleatorio
Buongiorno a tutti,
mi servirebbe una mano a calcolare la potenza del processo aleatorio $ x(t)=A\cos(2\pift+\phi) $ dove A e $\phi$ sono deterministici mentre f è una variabile aleatoria uniforme in [0,4000].
In particolare dovrei calcolarla usando l'autocorrelazione in 0 dove per autocorrelazione, questa è la definizione che ci è stata data, s'intende la media temporale della media statistica, ovvero
$r(\tau)=\lim_{T\to\infty} 1/T \int_{-T/2}^{T/2}E{x(t)x(t-\tau)}dt$
Credo di aver svolto correttamente l'operazione di valor medio statistico secondo definizione
$E{x(t)x(t-\tau)} =(1/4000)*\int_{0}^{4000}((A^2)/2)(\cos(4\pift-2\pif\tau+2\phi)+\cos(2\pif\tau))df =
= (A^2)/8000((\sin(16000\pit-8000\pi\tau+2\phi)-\sin(2\phi))/(4\pit-2\pi\tau)+(\sin(8000\pi\tau))/(2\pi\tau))$
Ora so che la potenza di un segnale co-sinusoidale è pari a $(A^2)/2$ tuttavia facendo la media temporale di quel risultato ci troviamo davanti a due problemi:
1) un integrale improprio, del tipo $sin(x)/x$ che dovrebbe essere convergente anche se non assolutamente e
potremmo dire che facendone la media temporale questo è nullo;
2) il limite di un $\log(-1)/x $ con x che va ad infinito e credo che si potrebbe considerare nullo anch'esso
Se ciò che ho detto è corretto dunque quella media temporale restituisce
$r(\tau) = ((A^2)/8000)(\sin(8000\pi\tau)/(2\pi\tau))$
e qui l'altro problema, l'autocorrelazione in 0 è pari alla potenza ma con questo risultato si avrebbe una forma indeterminata $0/0$ per cui bisognerebbe passare al limite...
mi servirebbe una mano a calcolare la potenza del processo aleatorio $ x(t)=A\cos(2\pift+\phi) $ dove A e $\phi$ sono deterministici mentre f è una variabile aleatoria uniforme in [0,4000].
In particolare dovrei calcolarla usando l'autocorrelazione in 0 dove per autocorrelazione, questa è la definizione che ci è stata data, s'intende la media temporale della media statistica, ovvero
$r(\tau)=\lim_{T\to\infty} 1/T \int_{-T/2}^{T/2}E{x(t)x(t-\tau)}dt$
Credo di aver svolto correttamente l'operazione di valor medio statistico secondo definizione
$E{x(t)x(t-\tau)} =(1/4000)*\int_{0}^{4000}((A^2)/2)(\cos(4\pift-2\pif\tau+2\phi)+\cos(2\pif\tau))df =
= (A^2)/8000((\sin(16000\pit-8000\pi\tau+2\phi)-\sin(2\phi))/(4\pit-2\pi\tau)+(\sin(8000\pi\tau))/(2\pi\tau))$
Ora so che la potenza di un segnale co-sinusoidale è pari a $(A^2)/2$ tuttavia facendo la media temporale di quel risultato ci troviamo davanti a due problemi:
1) un integrale improprio, del tipo $sin(x)/x$ che dovrebbe essere convergente anche se non assolutamente e
potremmo dire che facendone la media temporale questo è nullo;
2) il limite di un $\log(-1)/x $ con x che va ad infinito e credo che si potrebbe considerare nullo anch'esso
Se ciò che ho detto è corretto dunque quella media temporale restituisce
$r(\tau) = ((A^2)/8000)(\sin(8000\pi\tau)/(2\pi\tau))$
e qui l'altro problema, l'autocorrelazione in 0 è pari alla potenza ma con questo risultato si avrebbe una forma indeterminata $0/0$ per cui bisognerebbe passare al limite...
Risposte
1) Si, ok. https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral
2) Non so da dove viene il $log (-1)/x$.... dovresti invece guardare il https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_pr ... _di_Cauchy
3) Sei autorizzato a prendere il limite, o meglio, dovresti rifare i calcoli partendo gia' con $\tau = 0$ come caso particolare, anzi secondo me dovevi farlo gia' dall'inizio siccome poi sapevi che dovevi usare quel valore.
4) Esistono anche i cambi di variabile. Sei autorizzato cioe' a "spostare" l'intervallo su cui valuti l'integrale della media temporale, ovvero
$lim_{T ->\infty} 1/T \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$
puo' anche diventare
$lim_{T ->\infty} 1/T \int_{-T/2+t_0}^{T/2+t_0} f(t+t_0) dt$
l'importante e' coprire tutto il dominio.
Ovviamente $t_0$ andra' scelto in modo furbo per semplificarsi la vita.
2) Non so da dove viene il $log (-1)/x$.... dovresti invece guardare il https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_pr ... _di_Cauchy
3) Sei autorizzato a prendere il limite, o meglio, dovresti rifare i calcoli partendo gia' con $\tau = 0$ come caso particolare, anzi secondo me dovevi farlo gia' dall'inizio siccome poi sapevi che dovevi usare quel valore.
4) Esistono anche i cambi di variabile. Sei autorizzato cioe' a "spostare" l'intervallo su cui valuti l'integrale della media temporale, ovvero
$lim_{T ->\infty} 1/T \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$
puo' anche diventare
$lim_{T ->\infty} 1/T \int_{-T/2+t_0}^{T/2+t_0} f(t+t_0) dt$
l'importante e' coprire tutto il dominio.
Ovviamente $t_0$ andra' scelto in modo furbo per semplificarsi la vita.
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