Poissoniana applicata (alcuni dubbi elementari)
Ciao 
, chiedo un aiuto riguardo teoria di laboratorio. Purtroppo non ho le nozioni di un matematico riguardo questi concetti e spero un giorno di approfondirli meglio, quindi mi scuso per le eventuali "cavolate" che vado a dire.
Ho studiato la poissoniana come limite per $n->oo$ della binomiale. E fin qui tutto bene, però si puòanche vedere come evento temporale.
1) Siccome da wikipedia $\lambda=n*p$ ove n è il numero di prove effettuate nel tempo e p la probabilità di successo nel tempo t mi sembra in generale di poter vedere lambda come: (n° eventi favorevoli)/(n° eventi possibili)*(n° eventi totali solti/tempo)=(n° eventi favorevoli successi in quelle prove/tempo)=λ -scusate la scrittura ma non sono riuscito a rendere meglio tramite le formule-.
E una probabilità sarà $P(k)$ con k=eventi/tempo.
2) Tuttavia in un appunto online di unical (mi pare) trovo che la poissoniana si può vedere come distribuzione che "esprime la probabilità che in una data unità di tempo si ripetano un certo numero di eventi".
E poi dice:
Un telefono può squillare (successo) o meno (insuccesso) in ogni istante: supponiamo che suoni, in media, 5 volte in un ora. Se dividiamo l'intervallo in 60 parti uguali otteniamo degli intervalli di 1’ per i quali il numero medio di chiamate è pari a 5.
Se dividiamo ogni intervallo di un minuto in 60 secondi allora avremo 3600 “prove” con una prob. di successo pari a π=5/3600… Continuando a frazionare l’unità di tempo si può approssimare la distribuzione con la Poissoniana (e la media sarà $lambdat$).
Ossia in questo secondo modo mi pare di poter intuire che la probabilità $pi$ sia intesa come (5 eventi)/(3600 eventi) cioè è come avessi trasformato l'evento chiamata in un evento istante di tempo. Che mi sembra diversa dalla visione riportata in 1).
Ma quale delle due visioni è giusta? Sono davvero confuso e non riesco a raccapezzarmi.
Scusatemi per la ignoranza
, chiedo un aiuto riguardo teoria di laboratorio. Purtroppo non ho le nozioni di un matematico riguardo questi concetti e spero un giorno di approfondirli meglio, quindi mi scuso per le eventuali "cavolate" che vado a dire.Ho studiato la poissoniana come limite per $n->oo$ della binomiale. E fin qui tutto bene, però si puòanche vedere come evento temporale.
1) Siccome da wikipedia $\lambda=n*p$ ove n è il numero di prove effettuate nel tempo e p la probabilità di successo nel tempo t mi sembra in generale di poter vedere lambda come: (n° eventi favorevoli)/(n° eventi possibili)*(n° eventi totali solti/tempo)=(n° eventi favorevoli successi in quelle prove/tempo)=λ -scusate la scrittura ma non sono riuscito a rendere meglio tramite le formule-.
E una probabilità sarà $P(k)$ con k=eventi/tempo.
2) Tuttavia in un appunto online di unical (mi pare) trovo che la poissoniana si può vedere come distribuzione che "esprime la probabilità che in una data unità di tempo si ripetano un certo numero di eventi".
E poi dice:
Un telefono può squillare (successo) o meno (insuccesso) in ogni istante: supponiamo che suoni, in media, 5 volte in un ora. Se dividiamo l'intervallo in 60 parti uguali otteniamo degli intervalli di 1’ per i quali il numero medio di chiamate è pari a 5.
Se dividiamo ogni intervallo di un minuto in 60 secondi allora avremo 3600 “prove” con una prob. di successo pari a π=5/3600… Continuando a frazionare l’unità di tempo si può approssimare la distribuzione con la Poissoniana (e la media sarà $lambdat$).
Ossia in questo secondo modo mi pare di poter intuire che la probabilità $pi$ sia intesa come (5 eventi)/(3600 eventi) cioè è come avessi trasformato l'evento chiamata in un evento istante di tempo. Che mi sembra diversa dalla visione riportata in 1).
Ma quale delle due visioni è giusta? Sono davvero confuso e non riesco a raccapezzarmi.
Scusatemi per la ignoranza
Risposte
"lozaio":
E una probabilità sarà $P(k)$ con k=eventi/tempo.
Ma $k$ è un intero. Cosa intendi qui?
Ciao
Ti faccio un esempio dal pdf di cui parlavo trovato online:
Il numero di guasti che in un anno si verificano in una centralina telefonica si
distribuiscono secondo la legge di Poisson, con λ=3. Qual è la probabilità che
in un anno si verifichino tre guasti?
(il problema non è la risoluzione che ho capito ma interpretare quel lambda, e non capisco quale sia dei due modi sopra elencati, quella corretta)
La mia idea era interpretare come $lambda$= (3eventi/eventi totali)(eventi che svolgo/1anno)=eventi/anno
la prima parentesi è una probabilità, la seconda è come se fosse: ho svolto n prove in un tempo (un po' come n*p della binomiale -ossia una media-) a conti fatti esce una sorta di media nel tempo, ecco il p(k) è P(3) ossia con k pari a 3guasti/anno.
Pensavo fosse da interpretare così, tuttavia mi pare di poterla interpretare anche con il modo 2) che descrivevo sopra.
Non so se ho chiaritomeglio, nel caso ci riprovo, perdonami
Ti faccio un esempio dal pdf di cui parlavo trovato online:
Il numero di guasti che in un anno si verificano in una centralina telefonica si
distribuiscono secondo la legge di Poisson, con λ=3. Qual è la probabilità che
in un anno si verifichino tre guasti?
(il problema non è la risoluzione che ho capito ma interpretare quel lambda, e non capisco quale sia dei due modi sopra elencati, quella corretta)
La mia idea era interpretare come $lambda$= (3eventi/eventi totali)(eventi che svolgo/1anno)=eventi/anno
la prima parentesi è una probabilità, la seconda è come se fosse: ho svolto n prove in un tempo (un po' come n*p della binomiale -ossia una media-) a conti fatti esce una sorta di media nel tempo, ecco il p(k) è P(3) ossia con k pari a 3guasti/anno.
Pensavo fosse da interpretare così, tuttavia mi pare di poterla interpretare anche con il modo 2) che descrivevo sopra.
Non so se ho chiaritomeglio, nel caso ci riprovo, perdonami
"lozaio":
ho svolto n prove in un tempo (un po' come n*p della binomiale -ossia una media-) a conti fatti esce una sorta di media nel tempo, ecco il p(k) è P(3) ossia con k pari a 3guasti/anno.
Non ci capisco niente. Quali prove hai effettuato?
"ghira":
Non ci capisco niente. Quali prove hai effettuato?
In realtà nessuna prova: non è un vero e proprio esperimento, erauna ipotesi e vorrei solo capire cosa sia la poissoniana
non essendomi chiara.Ad esempio se perla binomiale la media è np sapendo che (probabilità)x(numero di eventi che misuro)=(ev/ev.totali)x(numero di eventi che considero)=numero eventi medio. Identicamente per la posissoniana...
Come dicevo se lambda è (probabilità)x(numero di eventi che considero/tempo), mi pare di poterla vedere come, essendo: probabilità=(ev/ev.totali) ed essendo gli eventi n svolti: n=(ev.totali/tempo), quindi essendo $lambda=n*p$ allora $lambda$=eventi/tempo avendo moltiplicato probabilità per n.
Sono solo molto confuso.
Per rispondere alla domanda "Il numero di guasti che in un anno si verificano in una centralina telefonica si
distribuiscono secondo la legge di Poisson, con $\lambda=3$. Qual è la probabilità che
in un anno si verifichino tre guasti?" non è necessario "interpretare" $\lambda$.
Metti $k=3$ nella formula per la distribuzione di Poisson con $\lambda=3$ e buonanotte.
Qui usiamo la Poisson perché non c'è alcun limite al numero di guasti. E si può anche usare per il numero di pezzi di uvetta in un panettone, o errori di battitura su una pagina del Corriere della Sera, e così via.
distribuiscono secondo la legge di Poisson, con $\lambda=3$. Qual è la probabilità che
in un anno si verifichino tre guasti?" non è necessario "interpretare" $\lambda$.
Metti $k=3$ nella formula per la distribuzione di Poisson con $\lambda=3$ e buonanotte.
Qui usiamo la Poisson perché non c'è alcun limite al numero di guasti. E si può anche usare per il numero di pezzi di uvetta in un panettone, o errori di battitura su una pagina del Corriere della Sera, e così via.
Grazie a tutti e due per la risposta e per cercare di aiutarmi a capire, ve ne sono immensmente grato.
Vorrei rispondere @sergio perché mi pare abbia individuato quanto volevo dire
sostanzialmente a me sembra appunto che così facendo sia come prendere la media di eventi che mi sono calcolato nell'anno, ora siccome l'evento avviene in un istante di tempo posso benissimo riguardare lambda come l'istante in cui avviene e rapportarlo agli istanti totali in cui svolgo la "prova" (es:un anno) in questo modo trovo una probabilità piccolissima (mi sto avvicinando alla poissioniana)... insomma ho chiamato $p=\lambda/t_(empo)$ (con tempo istanti). Ora ma nuova $lambda'$ sarà data da questa $p$ per un certo $n=T$ numero di prove (cioè tempo)
Posso quindi scrivere una poisoniana con parametro $\lambda'=p*T$. Ho quindi una binomiale di media p*T ed è interessante notare che appunto essento "T" molto elevato come numero e $p=\lambda/t_(empo)$ probabilità molto piccola è come se facessi tendere le prove di una binomiale a $oo$ che è una poissoniana alla fine dei conti ($P_\(lambda')(K)=(lambda')^k/K!e^-(lambda')$). Ed era quel che cercavo di dire qui nel punto 2)
Dimmi se sbaglio Sergio
Vorrei rispondere @sergio perché mi pare abbia individuato quanto volevo dire
"Sergio":
Se hai in media $lambda$ eventi in un anno, puoi dividere l'anno in sottoperiodi. Se lo dividi ad esempio in 365 giorni, diventa molto improbabile che ci siano due morti per calcio di cavallo in uno stesso giorno e, pertanto, in ciascun giorno puoi avere "un morto per calcio di cavallo" oppure "nessuno morto per calcio di cavallo" con rispettive probabilità $\lambda/365$ e $1-lambda/365$. Ecco che puoi ragionare in temini di "successo" (va be', si fa per dire...) con probabilità $0.61/365$, "insuccesso" con probabilità $1-0.61/365$, e puoi contare il numero di "successi" in un anno, cioè in 365 giorni. Ad esempio, la probabilità di due "successi" in un anno è:
\[\binom{365}{2}\left(\frac{0.61}{365}\right)^2\left(1-\frac{0.61}{365}\right)^{365-2}=0.101\]come nella terza riga, seconda colonna, della tabella.
sostanzialmente a me sembra appunto che così facendo sia come prendere la media di eventi che mi sono calcolato nell'anno, ora siccome l'evento avviene in un istante di tempo posso benissimo riguardare lambda come l'istante in cui avviene e rapportarlo agli istanti totali in cui svolgo la "prova" (es:un anno) in questo modo trovo una probabilità piccolissima (mi sto avvicinando alla poissioniana)... insomma ho chiamato $p=\lambda/t_(empo)$ (con tempo istanti). Ora ma nuova $lambda'$ sarà data da questa $p$ per un certo $n=T$ numero di prove (cioè tempo)
Posso quindi scrivere una poisoniana con parametro $\lambda'=p*T$. Ho quindi una binomiale di media p*T ed è interessante notare che appunto essento "T" molto elevato come numero e $p=\lambda/t_(empo)$ probabilità molto piccola è come se facessi tendere le prove di una binomiale a $oo$ che è una poissoniana alla fine dei conti ($P_\(lambda')(K)=(lambda')^k/K!e^-(lambda')$). Ed era quel che cercavo di dire qui nel punto 2)
Ossia in questo secondo modo mi pare di poter intuire che la probabilità $pi$ sia intesa come (5 eventi)/(3600 eventi) cioè è come avessi trasformato l'evento chiamata in un evento istante di tempo.
Dimmi se sbaglio Sergio
"lozaio":
posso benissimo riguardare lambda come l'istante in cui avviene
Non credo proprio. In questo caso specifico, in che senso 3 sarebbe l'istante in cui avviene qualcosa?
Ciao ghira, grazie per la risposta
Non credo proprio. In questo caso specifico, in che senso 3 sarebbe l'istante in cui avviene qualcosa?[/quote]
Mi sembra di poter riguardare il 3 come: 3 guasti coincide con 3 istanti in cui avviene il guasto, ossia se ho diviso mettiamo l'anno in secondi ho 3 secondi (in cui avvengono proprio i 3 guasti) rispetto ai totali di secondi in cui può o non può avvenire il guasto e in definitiva avrei la probabilità binomiale di $p=(3s)/(3153600s)$ (**). Questo intendevo con riguardare la media 3 guasti in veste binomiale, cambio l'interpretazione "guasto" nell'"istante del guasto" e ottengo proprio una probabilità binomiale piccolissma. Se poi faccio $p*n$ ove n mettiamo sono due anni (espressi in secondi) [$\lambda'= 9.5*10^-7*6307200$] trovo proprio una poissoniana:probabilità piccola moltiplicata per numero di eventi enorme che mi restituisce proprio il $lambda'$ parametro della poissoniana. In generale più gli intervalli temporali si fanno piccoli più posso usare la possoniana anziché la binomiale.
(**) si nota che in effetti è congruente alla definizione di probabilità come 3 eventi (temporali) favorevoli su 3153600s possibili.
"ghira":
[quote="lozaio"]posso benissimo riguardare lambda come l'istante in cui avviene
Non credo proprio. In questo caso specifico, in che senso 3 sarebbe l'istante in cui avviene qualcosa?[/quote]
Mi sembra di poter riguardare il 3 come: 3 guasti coincide con 3 istanti in cui avviene il guasto, ossia se ho diviso mettiamo l'anno in secondi ho 3 secondi (in cui avvengono proprio i 3 guasti) rispetto ai totali di secondi in cui può o non può avvenire il guasto e in definitiva avrei la probabilità binomiale di $p=(3s)/(3153600s)$ (**). Questo intendevo con riguardare la media 3 guasti in veste binomiale, cambio l'interpretazione "guasto" nell'"istante del guasto" e ottengo proprio una probabilità binomiale piccolissma. Se poi faccio $p*n$ ove n mettiamo sono due anni (espressi in secondi) [$\lambda'= 9.5*10^-7*6307200$] trovo proprio una poissoniana:probabilità piccola moltiplicata per numero di eventi enorme che mi restituisce proprio il $lambda'$ parametro della poissoniana. In generale più gli intervalli temporali si fanno piccoli più posso usare la possoniana anziché la binomiale.
(**) si nota che in effetti è congruente alla definizione di probabilità come 3 eventi (temporali) favorevoli su 3153600s possibili.
"Sergio":
Gli istanti con $lambda$ non c'entrano nulla: $lambda$ è il numero medio di eventi nell'unità di tempo, ad esempio in un anno. Non importa quando si verificano, ma quanti se ne verificano.
Sì, certo, però (domanda) essendo la probabilità per definizione eventi fav/eventi tot ho come "unità di misura" evento/evento=numero puro, la mia idea era "convertire" il lambda come un istante di tempo così da avere nel rapporto che determina p (p=lambda/anno) un numero puro e non un "evento/tempo". Non so se ho spiegato, ma insomma lo spezzettare in piccoli frazioni di tempo l'anno fa si che possa vedere l'istante evento favorevole (come l'istante di morte per calcio del cavallo) su totale istante (istanti di morte e istanti privi di alcuna morte di un umano per via delcalcio).
E' così sbagliato? Non mi sembra diverso daquelloche cercavi di dirmi.
PS:non cerco di convincerti,sia chiaro, espongo solo il dubbio per farti capire doeve sbaglio epoterti aiutare a corrggermi
Innanzitutto ho capito che un errore era vedere la poissoniana come derivata da una binomiale, cioè avevo capito in modo maldestro che ogni poissoniana dovessi ottenerla da una binomiale con p probabilità e n tendente a infinito. Perché erostato portato fuori strada da questo:
Grazie a te ho capito che in effetti non è così, la poissoniana ha una propria $lambda$ da intendesi come parametro della distribuzione ed è un numero di evnti medio su periodo, niente di più e niente di meno.
---------
Detto questo mi rimane solo una parte da correggere, se non ho detto castronerie qui sopra.
Devi scusarmi mi sono spiegato male, in realtà volevodire che qui
(io avevo inizialmente invertito l'interpretazione e vedevo questa binomiale come definizione da cui partire per giungere alla poissoniana ritenendo p*n, con n=365 ossia molto alto e probabilità p molto bassa, ossia il caso n->oo, come ho detto ad inizio di questo ultimo post, però capito l'errore...)
ad ogni buon conto, dato che come detto questo era un errore, per trovare la p della binomiale dalla poissoniana con tale lambda ovviamente dipende in effetti da quante divisioni scelgo per l'unità di tempo. Nel quote però mi pare che p segua abbastanza la definizione di ev favorevoli/possibili, sbaglio?
Perche se ci penso, appunto, ovviamente p è una probabilità diversa a seconda di quante volte suddivido il periodo temporale anno (e su questo sono più che d'accordoessendo infinite possibili divisioni diverse).
Però in questo caso non riesco a capire perché sarebbe sbagliato vedere p=lambda/tempo e rileggere lambda a numeratore come come un istante temporale: voglio dire, se ho una media di lavare 35 volte lemani in una settimana, e scelgo ore come intervallo per giungere al p della binomiale che voglio ricavare dalla poisson con tale lambda sarà: $p=35/168$ 35 eventi favorevoli su 168 totali, questo intendevo con "rileggere lambda", cioè trasformo quello che era una media in un evento per trovare una probabilità. SOno molto fuori strada vero?
Grazie a te ho capito che in effetti non è così, la poissoniana ha una propria $lambda$ da intendesi come parametro della distribuzione ed è un numero di evnti medio su periodo, niente di più e niente di meno.
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Detto questo mi rimane solo una parte da correggere, se non ho detto castronerie qui sopra.
Devi scusarmi mi sono spiegato male, in realtà volevodire che qui
"Sergio":
Per passare alla binomiale devi "spezzettare" l'unità di tempo. Il motivo è semplice: una binomiale è una somma di prove bernoulliane, che possono avere solo due esiti, "successo" o "insuccesso", 1 o 0. Se in un anno si verificano 3 eventi, sono troppi perché si possa pensare a una prova bernoulliana. E allora spezzi l'anno in sottoperiodi, ad esempio in giorni. Così facendo, hai che il numero medio di eventi in un giorno, \(\lambda/365\), è talmente basso da poter pensare a prove bernoulliane ciascuna con \(p=\lambda/365\).
Il numero medio di eventi in un anno diventa così il valore atteso di una v.a. binomiale di parametri $n=365$ (fai 365 prove bernoulliane) e \(p=\lambda/365\), e hai $np=lambda$.
(io avevo inizialmente invertito l'interpretazione e vedevo questa binomiale come definizione da cui partire per giungere alla poissoniana ritenendo p*n, con n=365 ossia molto alto e probabilità p molto bassa, ossia il caso n->oo, come ho detto ad inizio di questo ultimo post, però capito l'errore...)
ad ogni buon conto, dato che come detto questo era un errore, per trovare la p della binomiale dalla poissoniana con tale lambda ovviamente dipende in effetti da quante divisioni scelgo per l'unità di tempo. Nel quote però mi pare che p segua abbastanza la definizione di ev favorevoli/possibili, sbaglio?
Perche se ci penso, appunto, ovviamente p è una probabilità diversa a seconda di quante volte suddivido il periodo temporale anno (e su questo sono più che d'accordoessendo infinite possibili divisioni diverse).
Però in questo caso non riesco a capire perché sarebbe sbagliato vedere p=lambda/tempo e rileggere lambda a numeratore come come un istante temporale: voglio dire, se ho una media di lavare 35 volte lemani in una settimana, e scelgo ore come intervallo per giungere al p della binomiale che voglio ricavare dalla poisson con tale lambda sarà: $p=35/168$ 35 eventi favorevoli su 168 totali, questo intendevo con "rileggere lambda", cioè trasformo quello che era una media in un evento per trovare una probabilità. SOno molto fuori strada vero?
"Sergio":[/quote]
[quote="lozaio"]168 NON È un numero di eventi.
Forse siamo arrivati con il pettine al nodo. Non capisco cosa sia quella probabilità p con a numeratore (stando nell'esempio) lavaggi/intervalli temporali. p mi sembra per forza eventi su eventi per definizione: per questo parlavo di vedere 35 come gli intervalli temporali in cui lavi la mano (evento favorevole) su 180 eventi possibili, non seguendo questo ragionamento non riesco allora a capire cosa sia quel rapporto
"lozaio":
p mi sembra per forza eventi su eventi per definizione
Come qualcuno (Sergio?) ha già detto può non essere utile pensare in questi termini. Posso benissimo considerare una moneta con una probabilità di $sqrt(2)-1$ o $\frac{\pi}{10}$ di uscire testa. O una distribuzione di probabilità discreta dove alcune o tutte le probabilità dei singoli valori sono irrazionali (che succederà spesso con la Poisson).
"ghira":
[quote="lozaio"]p mi sembra per forza eventi su eventi per definizione
Come qualcuno (Sergio?) ha già detto può non essere utile pensare in questi termini. Posso benissimo considerare una moneta con una probabilità di $sqrt(2)-1$ o $\frac{\pi}{10}$ di uscire testa. O una distribuzione di probabilità discreta dove alcune o tutte le probabilità dei singoli valori sono irrazionali (che succederà spesso con la Poisson).[/quote]
No, aspetta, ma io parlavo della p della prova bernoulliana, pensavo non potesse essere irrazionale.
@sergio: ok ora ho afferato quel che dici, grazie
"lozaio":
No, aspetta, ma io parlavo della p della prova bernoulliana, pensavo non potesse essere irrazionale.
Certo che può essere irrazionale.
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