Poisson to gamma
Qualcuno di voi è in grado di risolvermi questo esercizio.
Dimostrare che:
$P(X<=k)=\frac{1}{k!}\int_lambda^infty t^k e^-tdt$=$\frac{1}{k!}\Gamma(k+1,\lambda)$
Aiuuuuuutoooooooooo!!!
Dimostrare che:
$P(X<=k)=\frac{1}{k!}\int_lambda^infty t^k e^-tdt$=$\frac{1}{k!}\Gamma(k+1,\lambda)$
Aiuuuuuutoooooooooo!!!
Risposte
Proprio in quel passaggio di integrazione ti vien fuori la gamma di Eulero !
"menale":
Proprio in quel passaggio di integrazione ti vien fuori la gamma di Eulero !
Cosa intendi?
Ecco cosa ho fatto...
$lambda^{k+1}/{k!}int_t^infty e^{-lambday}y^kdy$
$f'(x)=e^{-lambday}lambda^{k+1}$
$f(x)=-e^{-lambday}/lambdalambda^{k+1}=-e^{-lambday}lambda^k$
$g(x)=y^k/{k!}$
$g'(x)=y^{k-1}/{(k-1)!}$
dato che $intf'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-intf(x)g'(x)dx$
arrivo ad avere ${-lambda^ke^{-lambday}y^k}/{k!}+lambda^k/{(k-1)!}inte^{-lambday}y^{k-1}dy$ ovviamente con intervalli di integrazione da t a +infinito.
Ora come faccio a risolvere l'integrale e a ricondurmi alla distribuzione gamma?
$lambda^{k+1}/{k!}int_t^infty e^{-lambday}y^kdy$
$f'(x)=e^{-lambday}lambda^{k+1}$
$f(x)=-e^{-lambday}/lambdalambda^{k+1}=-e^{-lambday}lambda^k$
$g(x)=y^k/{k!}$
$g'(x)=y^{k-1}/{(k-1)!}$
dato che $intf'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-intf(x)g'(x)dx$
arrivo ad avere ${-lambda^ke^{-lambday}y^k}/{k!}+lambda^k/{(k-1)!}inte^{-lambday}y^{k-1}dy$ ovviamente con intervalli di integrazione da t a +infinito.
Ora come faccio a risolvere l'integrale e a ricondurmi alla distribuzione gamma?
Ma tu non ti devi ricondurre a nessuna gamma. Quel simbolo di gamma che hai sta a significare la funzione gamma incompleta ed è solo una notazione compatta per scrivere quell'integrale che hai.
Quindi parti dalla gamma (quindi dall'integrale; il membro di destra della tua equazione) e devi far vedere che è uguale al membro di sinistra che è $P(X<=k)$ dove X è poisson di parametro $lambda$.
Ricorda che $P(X<=k)=P(X=k)+P(X=k-1)+...+P(X=0)$
Il primo passaggio è fare la sostituzione che ti ho fatto prima ed ottenere l'integrale che ti ho scritto. L'estremo inferiore di quell'integrale è 1 e non t! Ora te hai fatto la prima integrazione per parti. Nel primo addendo del tuo risultato ottieni, mettendo gli estremi, $lambda^k e^(-lambda)/(k!)$ (questo con l'estremo inferiore uno, con +infinito ti viene 0, quindi questo termine si esaurisce qua). Questo termine è esattamente $P(X=k)$. Continuando a fare integrazione per parti sull'altro termine (dove ti è rimasto il segno di integrale) ottieni pian piano gli altri termini. Infatti ora hai un integrale uguale dove k si è abbassato di uno quindi facendo parti otterrai $P(X=k-1)$ per il primo pezzo e un altro integrale e cosi cia...
Alla fine ti rimarrà un integrale senza la y perchè il suo esponente passaggio per passaggio si abassa fino ad arrivare a 0, e questo ti porta a $P(X=0)$.
Quindi parti dalla gamma (quindi dall'integrale; il membro di destra della tua equazione) e devi far vedere che è uguale al membro di sinistra che è $P(X<=k)$ dove X è poisson di parametro $lambda$.
Ricorda che $P(X<=k)=P(X=k)+P(X=k-1)+...+P(X=0)$
Il primo passaggio è fare la sostituzione che ti ho fatto prima ed ottenere l'integrale che ti ho scritto. L'estremo inferiore di quell'integrale è 1 e non t! Ora te hai fatto la prima integrazione per parti. Nel primo addendo del tuo risultato ottieni, mettendo gli estremi, $lambda^k e^(-lambda)/(k!)$ (questo con l'estremo inferiore uno, con +infinito ti viene 0, quindi questo termine si esaurisce qua). Questo termine è esattamente $P(X=k)$. Continuando a fare integrazione per parti sull'altro termine (dove ti è rimasto il segno di integrale) ottieni pian piano gli altri termini. Infatti ora hai un integrale uguale dove k si è abbassato di uno quindi facendo parti otterrai $P(X=k-1)$ per il primo pezzo e un altro integrale e cosi cia...
Alla fine ti rimarrà un integrale senza la y perchè il suo esponente passaggio per passaggio si abassa fino ad arrivare a 0, e questo ti porta a $P(X=0)$.
Perchè l'estremo inferiore è 1?
sostituendo $+infty$ al primo addendo $lambda^ke^{-lambday}y^k$ viene $0*infty$ e non $0$.
Altra cosa.. Continuando ad integrare $y^k$ diventerà $y^{k-1}$ poi $y^{k-2}$ e così via...quando diventa 0?
dopo k volte. Se vuoi fare una dimostrazione carina dello sviluppo di quell'integrale dovresti usare una tecnica di induzione.
L'estremo viene 1 perchè fai la sostituzione $y=t/lambda$; se metti $t=lambda$ ottieni 1. l'estremo superiore è +infinito, quello va inteso come limite e fa 0.
Comunque, senza offesa, stai cercando di dimostrare una cosa che ti richiede un minimo di conoscenza di analisi che non sembra tu abbia.
edit: è l'esponente che diventa 0 e quindi $y^0=1$
L'estremo viene 1 perchè fai la sostituzione $y=t/lambda$; se metti $t=lambda$ ottieni 1. l'estremo superiore è +infinito, quello va inteso come limite e fa 0.
Comunque, senza offesa, stai cercando di dimostrare una cosa che ti richiede un minimo di conoscenza di analisi che non sembra tu abbia.
edit: è l'esponente che diventa 0 e quindi $y^0=1$
Non mi offendo..Ma riusciresti almeno a spiegarmi meglio come fa ad andarsene il primo addendo?
scusa eh ma $lim_{y \to \infty}-1/{k!}lambda^ke^{-lambday}y^k=0$ ????? "-.-
Allora te lo risolvo io poi mi dici cosa non capisci.
Partiamo da $I = 1/(k!) int_(lambda)^(infty) e^(-t) t^(k) dt$. (Se ti interessa - ma è un di più e non serve ai nostri scopi quindi non confonderti se vuoi salta questo pezzo - quella quantità rappresenta la probabilità che una variabile aleatoria gamma di parametri 1 e k+1 sia maggiore di $lambda$)
Con il cambio di variabile ottieni: $I=(lambda^(k+1))/(k!) int_1^(infty) y^k e^(-lambda y) dy$
Eseguendo una integrazione per parti ottieni:
$[-(lambda^(k))/(k!) y^k e^(-lambda y)]_1^(infty) \ + \ (lambda^(k))/((k-1)!) int_1^(infty) y^(k-1) e^(-lambda y) dy$
Il primo addendo è uguale a $lambda^k (e^(- lambda))/(k!)$; questo perchè il +infinito lo devi intendere come un limite e fa 0, se invece metti 1 ottieni quella quantità.
Quindi $I=lambda^k (e^(- lambda))/(k!) \ + \ (lambda^(k))/((k-1)!) int_1^(infty) y^(k-1) e^(-lambda y) dy$
Ripetendo l'integrazione per parti ottieni:
$I=lambda^k e^(- lambda)/(k!) \ + \ [ - (lambda^(k-1))/((k-1)!) y^(k-1) e^(-lambda y) ]_1^(infty) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-2)!) int_1^(infty) y^(k-2) e^(-lambda y) dy \quad =$
$= lambda^k e^(- lambda)/(k!) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-1)!) e^(-lambda ) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-2)!) int_1^(infty) y^(k-2) e^(-lambda y) dy $
Continuando così dopo k volte arrivi a:
$I=lambda^k e^(- lambda)/(k!) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-1)!) e^(-lambda ) \ + ...+ lambda^1 e^(-lambda)/(1!) \ + \ (lambda^(1))/(0!) int_1^(infty) y^(0) e^(-lambda y) dy$
Ricorda che 0!=1 e che y^0=1 l'ultimo integrale è dunque $lambda int_1^(infty) e^(-lambda y)dy = e^(- lambda)$
Dunque $I=lambda^k e^(- lambda)/(k!) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-1)!) e^(-lambda ) \ + ...+ lambda^1 e^(-lambda)/(1!) \ + \ e^(- lambda)$ che è uguale a $P(X<=k)$
Partiamo da $I = 1/(k!) int_(lambda)^(infty) e^(-t) t^(k) dt$. (Se ti interessa - ma è un di più e non serve ai nostri scopi quindi non confonderti se vuoi salta questo pezzo - quella quantità rappresenta la probabilità che una variabile aleatoria gamma di parametri 1 e k+1 sia maggiore di $lambda$)
Con il cambio di variabile ottieni: $I=(lambda^(k+1))/(k!) int_1^(infty) y^k e^(-lambda y) dy$
Eseguendo una integrazione per parti ottieni:
$[-(lambda^(k))/(k!) y^k e^(-lambda y)]_1^(infty) \ + \ (lambda^(k))/((k-1)!) int_1^(infty) y^(k-1) e^(-lambda y) dy$
Il primo addendo è uguale a $lambda^k (e^(- lambda))/(k!)$; questo perchè il +infinito lo devi intendere come un limite e fa 0, se invece metti 1 ottieni quella quantità.
Quindi $I=lambda^k (e^(- lambda))/(k!) \ + \ (lambda^(k))/((k-1)!) int_1^(infty) y^(k-1) e^(-lambda y) dy$
Ripetendo l'integrazione per parti ottieni:
$I=lambda^k e^(- lambda)/(k!) \ + \ [ - (lambda^(k-1))/((k-1)!) y^(k-1) e^(-lambda y) ]_1^(infty) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-2)!) int_1^(infty) y^(k-2) e^(-lambda y) dy \quad =$
$= lambda^k e^(- lambda)/(k!) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-1)!) e^(-lambda ) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-2)!) int_1^(infty) y^(k-2) e^(-lambda y) dy $
Continuando così dopo k volte arrivi a:
$I=lambda^k e^(- lambda)/(k!) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-1)!) e^(-lambda ) \ + ...+ lambda^1 e^(-lambda)/(1!) \ + \ (lambda^(1))/(0!) int_1^(infty) y^(0) e^(-lambda y) dy$
Ricorda che 0!=1 e che y^0=1 l'ultimo integrale è dunque $lambda int_1^(infty) e^(-lambda y)dy = e^(- lambda)$
Dunque $I=lambda^k e^(- lambda)/(k!) \ + \ (lambda^(k-1))/((k-1)!) e^(-lambda ) \ + ...+ lambda^1 e^(-lambda)/(1!) \ + \ e^(- lambda)$ che è uguale a $P(X<=k)$
"ziobanana":
scusa eh ma $lim_{y \to \infty}-1/{k!}lambda^ke^{-lambday}y^k=0$ ????? "-.-
Si. per ogni $lambda >0 $ (come inquesto caso) quel limite vale 0
Non capisco proprio questo limite... A me sembra una forma indeterminata $0*infty$ che non capisco proprio come hai risolto..
Non è che c'è molto da fare, quel limite è così. Lo si può dimostrare in varie maniere, una semplice è con De L'Hopital.
L'idea è che: è verò che è una forma indeterminata ma $e^(lambda y)$ va a infinito più velocemente di $y^k$ quindi se ne fai il rapporto va a 0.
L'idea è che: è verò che è una forma indeterminata ma $e^(lambda y)$ va a infinito più velocemente di $y^k$ quindi se ne fai il rapporto va a 0.
Ok ci sono!! Ancora una cosa...
Come arrivi a $lambda^1e^-lambda/{1!}+lambda^1/{1!}$ ??
Come arrivi a $lambda^1e^-lambda/{1!}+lambda^1/{1!}$ ??
Dove è quel pezzo? Intendi nella terzultima riga? Se si continuando a fare integrazioni per parti.
Metti k=3 e prova a farlo così vedi se torna!
Metti k=3 e prova a farlo così vedi se torna!
Si nella terz'ultima riga...Non ho capito!! perchè devo sostituire k=3??
Altra cosa...Mi dai una spiegazione dell'ultima riga.. Perchè è la soluzione?
ok niente !! ci sono arrivato da solo...
ma se volessi dimostrare che $1/{k!}int_lambda^infty t^ke^-t dt= 1/{k!}Gamma(k+1,lambda)$ come faccio?
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