Poisson to gamma
Qualcuno di voi è in grado di risolvermi questo esercizio.
Dimostrare che:
$P(X<=k)=\frac{1}{k!}\int_lambda^infty t^k e^-tdt$=$\frac{1}{k!}\Gamma(k+1,\lambda)$
Aiuuuuuutoooooooooo!!!
Dimostrare che:
$P(X<=k)=\frac{1}{k!}\int_lambda^infty t^k e^-tdt$=$\frac{1}{k!}\Gamma(k+1,\lambda)$
Aiuuuuuutoooooooooo!!!
Risposte
Benvenuto nel forum. Ti invito alla lettura del regolamento del forum. In particolare, sei pregato di segnalare le idee che ti sono venute nel cercare di risolvere l'esercizio. Cerca inoltre di postare nella sezione giusta in futuro, grazie. Sposto in probabilita'.
Intendi dimostrare quella uguaglianza ??
Si devo dimostrare l'uguaglianza.
Ho fatto il cambio di variabile $y=t/lambda$ e $dt=lambdady$ perchè voglio ricondurmi a
un integrale con intervallo di integrazione da t a +infinito, in modo
da recuperare la probabilità di coda di destra della distribuzione
gamma.
Arrivo così ad avere $1/{k!}\int_t^infty e^{-lambday} lambda^{k+1} y^kdy$
a questo punto pensavo di risolvere integrando per parti e ricondurmi alla funzione di densità di gamma che per interi positivi vale $f(x)=lambda^k/{(k-1)!}y^{k-1}e^{-lambday}$ ma non ne riesco a venire a capo...
Ho fatto il cambio di variabile $y=t/lambda$ e $dt=lambdady$ perchè voglio ricondurmi a
un integrale con intervallo di integrazione da t a +infinito, in modo
da recuperare la probabilità di coda di destra della distribuzione
gamma.
Arrivo così ad avere $1/{k!}\int_t^infty e^{-lambday} lambda^{k+1} y^kdy$
a questo punto pensavo di risolvere integrando per parti e ricondurmi alla funzione di densità di gamma che per interi positivi vale $f(x)=lambda^k/{(k-1)!}y^{k-1}e^{-lambday}$ ma non ne riesco a venire a capo...
Perchè nel tuo integrale ci sono ambo le variabili , ossia y e t ??? Nel momento in cui effettui un cambio di variabile di cambiare tutti i parametri . Prova a fare ciò dopo di che moltiplica e divide per $ (K-1)! $ e riesci , in tal modo , a ricondurti alla gamma !! 
Non capisco. Ti riferisci alla t limite inferiore dell'integrale? Poi se moltiplico e divido per $(k-1)!$ poi mi rimane a numeratore? E l'integrale come lo risolvo? Per parti?
Il $ (k-1)! $ lo porti fuori dal segno di integrale senza problemi . Dopo di che puoi continuare per parti ! Ti ripeto attento a quando cambi la variabile !!!!
Non ci arrivo.."-.- Saresti così gentile da mostrarmi i vari passaggi? Grazie
Se riesci a risolvermi questa dimostrazione mi daresti un grosso aiuto...Sto facendo la tesi e sono bloccato da questa cosa
Non ricordavo questo risultato...comunque nel 4 post sei arrivato alla gamma. Adesso come dice menale devi iniziare a fare integrazioni per parti e piaN PIANO k ti si elimina.
Eh si , k va via in questo modo ! Cercherò di portare a termine l'integrazione e ti scrivo il tutto !!! Sia chiaro : non te l'ho scritta , non perché non ne avessi voglia , ma perché non ho concluso tutti i calcoli ! Comunque , come diceva anche DajeForte , effettuato il passaggio con la gamma sei a buon punto devi solo un po' darti all'integrazione per parti !
E' proprio questo il mio problema a cui non riesco a venire a capo...Nell'integrale cosa lascio da integrare per parti?? $lambda^{k+1}$ è da considerare una costante o devo integrare anch'essa??
Poiché integri secondo y variabile è da considerarsi come costante ! Perciò quel $ (k-1)! $ puoi "portarlo" fuori dal segno di integrale !
Ecco dove dove sono arrivato...
${lambda^{k+1}(k-1)!}/{k!(k-1)!}int_0^inftye^{-lambday}y^kdy$ integrando per parti $f'(x)=e^{-lambday}$ e $g(x)=y^k$
${lambda^{k+1}(k-1)!}/{k!(k-1)!}(-e^{-lambday}/lambday^k-kint_0^inftye^{-lambday}y^{k-1}dy)$ dopodiche non so più dove sbattere la testa...Sempre che questo sia giusto "-.-
${lambda^{k+1}(k-1)!}/{k!(k-1)!}int_0^inftye^{-lambday}y^kdy$ integrando per parti $f'(x)=e^{-lambday}$ e $g(x)=y^k$
${lambda^{k+1}(k-1)!}/{k!(k-1)!}(-e^{-lambday}/lambday^k-kint_0^inftye^{-lambday}y^{k-1}dy)$ dopodiche non so più dove sbattere la testa...Sempre che questo sia giusto "-.-
L'ultimo integrale ( quello rimanente ) ti permette di ottenere la gamma di Eulero , basta giochicchiare con la $ λ $ che fa da esponente !! Credo che tu sia proprio vicino alla risoluzione !
$Gamma(k+1)=kint_t^infty e^{-lambday}y^{k-1}$ giusto?
Il problema adesso è come semplificare le altre variabili? Cosa intendi con "giochicchiare con lambda"?
Il problema adesso è come semplificare le altre variabili? Cosa intendi con "giochicchiare con lambda"?
Aspetta che avevo perso di vista l'identità iniziale a furia di considerare l'integrale . Quando parlavo di " giochicchiare con λ facevo riferimento alla risoluzione dell'integrale per ottenere la gamma di Eulero !!! A questo punto risolto il tutto sei a buon punto , non trovi ??
Sinceramente no..Potresti mostrarmi questi ultimi passaggi?? Grazie
Allora mi pare che sta venendo fuori una cosa confusionaria che non giova a nessuno!
Riscrivi in maniera chiara e corretta quello che devi dimostrare (dal primo post non è così chiaro); poi lo risolveremo insieme.
Riscrivi in maniera chiara e corretta quello che devi dimostrare (dal primo post non è così chiaro); poi lo risolveremo insieme.
Sia $XsimP(lambda)$. Dimostrare che
$P(X<=k)=1/{k!}int_lambda^infty t^ke^-tdt=1/{k!}Gamma(k+1,lambda)$
$P(X<=k)=1/{k!}int_lambda^infty t^ke^-tdt=1/{k!}Gamma(k+1,lambda)$
Allora con il cambiamento $y=t/\lambda$ l'integrale diventa:
$lambda^(k+1)/(k!)int_1^(infty)y^k e^(-lambda y)dy$
Ora ti devi mettere a integrare per parti (ripetutamente) dove usi $int lambda^(k+1) e^(- lambda y) dy = - lambda^k e^(- lambda y)$ (che quindi è la parte da integrare) e la derivata di $y^k /(k!)$ è $y^(k-1)/((k-1)!)$
$lambda^(k+1)/(k!)int_1^(infty)y^k e^(-lambda y)dy$
Ora ti devi mettere a integrare per parti (ripetutamente) dove usi $int lambda^(k+1) e^(- lambda y) dy = - lambda^k e^(- lambda y)$ (che quindi è la parte da integrare) e la derivata di $y^k /(k!)$ è $y^(k-1)/((k-1)!)$
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