Perchè non coincide??
Buon pomeriggio
come da titolo ho svolto un esercizio riguardante la probabilità di Bayes per poi risolverlo in un secondo momento attraverso la tabella ma il risultato non torna
Si è stimato che 1
500 della popolazione bovina è affetto da BSE. Un test per la BSE
da un positivo su un animale malato con probabilità 0:99 e negativo su un animale
sano con probabilità 0:98
(a) Effettuando un test su un animale scelto a caso, qual'è la probabilità che risulti
positivo?
(b) Sapendo che il test è risultato positivo, qual'è la probabilità che l'animale sia
effettivamente malato?
Indicando con
$M$ ANIMALE MALATO
$+$ TEST POSITIVO
$S$ ANIMALE SANO
$-$ TEST NEGATIVO
posso scrivere che
$P(M)=1/500$ $P(S)=499/500$ $P(+|M)=99/100$ $P(-|S)=98/100$
Dalla formula delle probabilità totali posso scrivere che
$P(+)=P(+|M)P(M)+P(-|S)P(S)=99/100 1/500 +2/100 499/500 =0.022$
Per il punto b)
Bayes dice che
$P(M|+)=(P(+|M)P(M))/(P(+))= 0.09$
Avevo inizialmente provato con la tabella
indico $X$ la salute dell animale quindi MALATO o SANO
$Y$ il test quindi POSITIVO o NEGATIVO
Quindi in pratica avevo considerato di avere la probabilità marginale $P(X=M)=1/500$ di vere la probabilità congiunta $P(+|M)$ e di trovarmi le incognite mancanti quindi $P(-|M)= P(M)-P(+|M)=1/500-99/100 $ ma non torna in quanto alla fine dei calcoli di tutte le incognite addirittura arrivo ad un risultato $>1$. Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
come da titolo ho svolto un esercizio riguardante la probabilità di Bayes per poi risolverlo in un secondo momento attraverso la tabella ma il risultato non torna
Si è stimato che 1
500 della popolazione bovina è affetto da BSE. Un test per la BSE
da un positivo su un animale malato con probabilità 0:99 e negativo su un animale
sano con probabilità 0:98
(a) Effettuando un test su un animale scelto a caso, qual'è la probabilità che risulti
positivo?
(b) Sapendo che il test è risultato positivo, qual'è la probabilità che l'animale sia
effettivamente malato?
Indicando con
$M$ ANIMALE MALATO
$+$ TEST POSITIVO
$S$ ANIMALE SANO
$-$ TEST NEGATIVO
posso scrivere che
$P(M)=1/500$ $P(S)=499/500$ $P(+|M)=99/100$ $P(-|S)=98/100$
Dalla formula delle probabilità totali posso scrivere che
$P(+)=P(+|M)P(M)+P(-|S)P(S)=99/100 1/500 +2/100 499/500 =0.022$
Per il punto b)
Bayes dice che
$P(M|+)=(P(+|M)P(M))/(P(+))= 0.09$
Avevo inizialmente provato con la tabella
indico $X$ la salute dell animale quindi MALATO o SANO
$Y$ il test quindi POSITIVO o NEGATIVO
| $(+|M)$ | $(+|S)$ | ? |
| $(-|S)$ | ? | $1/500$ |
Quindi in pratica avevo considerato di avere la probabilità marginale $P(X=M)=1/500$ di vere la probabilità congiunta $P(+|M)$ e di trovarmi le incognite mancanti quindi $P(-|M)= P(M)-P(+|M)=1/500-99/100 $ ma non torna in quanto alla fine dei calcoli di tutte le incognite addirittura arrivo ad un risultato $>1$. Dove sto sbagliando?
Grazie in anticipo
Risposte
"Sasuke93":
Dove sto sbagliando?
a fare la tabellina (che, in termini meno naïf si chiama "distribuzione bivariata"). Quella corretta è, ad esempio, questa.
Per evitare le virgole ho considerato una popolazione di 50.000 bufali ed applicato i dati del problema.
Come puoi vedere i risultati coincidono con i tuoi, correttamente calcolati utilizzando le formulette del libro, ma che si possono anche evitare alleggerendo il carico mnemonico
Infatti, il totale dei positivi è $1097/50000~~2.19%$ mentre il Valore Predittivo Positivo è appunto $99/1097~~9.02%$
Giusto per far funzionare un po' le meningi...se un bufalo avesse avuto 2 test consecutivi positivi quale sarebbe stato il suo VPP?
Guardando la tua effettivamente quell $1$ viene fuori da $100-99$ cosa che avevo impostato anche io con la differenza scritta precedentemente. Per capire,in questo tipo di esercizi devo "abbandonare" le percentuali/frazioni e trovare una popolazione per poi fare in modo che esca una tabellina come la tua?
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