Pdf marginali di una coppia di variabili aleatorie
Ciao ragazzi, ho qualche difficoltà nel calcolo degli estremi di integrazione delle pdf marginali, potreste aiutarmi a capire? Vi faccio vedere l'esercizio:
"Si consideri la coppia (X; Y ) di variabili aleatorie caratterizzate dalla seguente pdf congiunta:
$ f_(XY)(x,y)={(alpha*|x|*|y|, AA(x,y)inD),(text{0},ALTRIMENTI):} $
dove $ D={-1<=x<=1, -(1-|x|)<=y<=1-|x|} $ e $alpha$ è una costante reale.
$A)$ Disegnare D e determinare il valore di in modo che $f_(XY)(x,y)$ sia una valida pdf.
$B)$ Calcolare le pdf marginali di X ed Y e verificare che siano valide.
$C)$ Stabilire se X ed Y sono indipendenti e/o incorrelate."
Allora, dopo aver disegnato il dominio (un rombo con i vertici nei punti $+-1$ degli assi, imposto il seguente integrale e risolvo:
$ int_{-1}^{1} int_{-1+|x|}^{1-|x|}alpha*|x|*|y| dydx $ da cui trovo che $alpha=6$.
Adesso, per il punto$B$, ho difficoltà nel trovare gli estremi di integrazione delle pdf marginali... Il professore mi ha detto che ,ad esempio per la pdf marginale di x, di fissare un valore x e vedere dove varia la y. Sicuramente fuori dal dominio la pdf marginale è 0, ma dentro al dominio quali sono gli estremi da integrare? io avevo pensato $-x<=y<=1$ ma non sono sicuro. Potreste aiutarmi a capire? Grazie!
"Si consideri la coppia (X; Y ) di variabili aleatorie caratterizzate dalla seguente pdf congiunta:
$ f_(XY)(x,y)={(alpha*|x|*|y|, AA(x,y)inD),(text{0},ALTRIMENTI):} $
dove $ D={-1<=x<=1, -(1-|x|)<=y<=1-|x|} $ e $alpha$ è una costante reale.
$A)$ Disegnare D e determinare il valore di in modo che $f_(XY)(x,y)$ sia una valida pdf.
$B)$ Calcolare le pdf marginali di X ed Y e verificare che siano valide.
$C)$ Stabilire se X ed Y sono indipendenti e/o incorrelate."
Allora, dopo aver disegnato il dominio (un rombo con i vertici nei punti $+-1$ degli assi, imposto il seguente integrale e risolvo:
$ int_{-1}^{1} int_{-1+|x|}^{1-|x|}alpha*|x|*|y| dydx $ da cui trovo che $alpha=6$.
Adesso, per il punto$B$, ho difficoltà nel trovare gli estremi di integrazione delle pdf marginali... Il professore mi ha detto che ,ad esempio per la pdf marginale di x, di fissare un valore x e vedere dove varia la y. Sicuramente fuori dal dominio la pdf marginale è 0, ma dentro al dominio quali sono gli estremi da integrare? io avevo pensato $-x<=y<=1$ ma non sono sicuro. Potreste aiutarmi a capire? Grazie!
Risposte
Per trovare le marginali non hai che da integrare su quel rombo, ad esempio
$f_X(x)=int_(-1-x)^(1+x)f(x,y)dy$ ; $-1<=x<=0$
$f_X(x)=int_(x-1)^(1-x)f(x,y)dy$ ; $0<=x<=1$
A conti fatti troverai:
$f_X(x)={{:(-6x(x+1)^2,;-1<=x<0),(6x(x-1)^2,;0<=y<=1),(0,;"altrove"):}$
$f_Y(y)={{:(-6y(y+1)^2,;-1<=y<0),(6y(y-1)^2,;0<=y<=1),(0,;"altrove"):}$
Per l'indipendenza ti dico già che le variabili non lo sono .. condizione necessaria è infatti che il dominio sia rettangolare. Per valutarne la non correlazione devi calcolare la covarianza $E(XY)-E(X)E(Y)$
...a te l'ònere di fare i conti
ciao
$f_X(x)=int_(-1-x)^(1+x)f(x,y)dy$ ; $-1<=x<=0$
$f_X(x)=int_(x-1)^(1-x)f(x,y)dy$ ; $0<=x<=1$
A conti fatti troverai:
$f_X(x)={{:(-6x(x+1)^2,;-1<=x<0),(6x(x-1)^2,;0<=y<=1),(0,;"altrove"):}$
$f_Y(y)={{:(-6y(y+1)^2,;-1<=y<0),(6y(y-1)^2,;0<=y<=1),(0,;"altrove"):}$
Per l'indipendenza ti dico già che le variabili non lo sono .. condizione necessaria è infatti che il dominio sia rettangolare. Per valutarne la non correlazione devi calcolare la covarianza $E(XY)-E(X)E(Y)$
...a te l'ònere di fare i conti
ciao
Si è proprio la difficoltà della scorsa volta. Grazie per avermi spiegato, nel caso cercherò ancora esercizi utili sul forum per capire al meglio. Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo