PDF di Variabili Aleatorie Trasformate
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere la seconda parte di questo esercizio. Vi scrivo il testo:
Si considerino le variabili aleatorie (V.A.) $x$ ed $y$ ottenute dalle seguenti trasformazioni:
$ x = e^(u/2)$
$ y = x - b$
dove $b$ è una V.A. binomiale con determinazioni possibili ${-12}$ e ${+12}$ di eguale probabilità ed
$u$ è una V.A. uniforme nell’intervallo $[0, 6]$.
Si calcoli:
a) il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $x$
b) Il grafico della densità di probabilità $PX(x)$
c) il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $y$
d) Il grafico della densità di probabilità $PY(y)$
A questo punto calcolo la PDF $PX(x)$ come: $ x = e^(u/2)$ ---> $ u = 2ln(x)$ e la derivata di quest'ultimo mi fornisce la PDF cercata che vale: $P(x)= 2/x$ nell'intervallo tra $[1, e^3]$ che ricavo direttamente dai dati iniziali poichè mi viene detto che $u$ è uniforme in $[0,6]$
Per trovare la PDF di $PY(y)$ comincio ad avere problemi perchè non so come trattare la variabile binomiale $b$... potete indirizzarmi sulla giusta strada? vi ringrazio moltissimo
Si considerino le variabili aleatorie (V.A.) $x$ ed $y$ ottenute dalle seguenti trasformazioni:
$ x = e^(u/2)$
$ y = x - b$
dove $b$ è una V.A. binomiale con determinazioni possibili ${-12}$ e ${+12}$ di eguale probabilità ed
$u$ è una V.A. uniforme nell’intervallo $[0, 6]$.
Si calcoli:
a) il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $x$
b) Il grafico della densità di probabilità $PX(x)$
c) il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $y$
d) Il grafico della densità di probabilità $PY(y)$
A questo punto calcolo la PDF $PX(x)$ come: $ x = e^(u/2)$ ---> $ u = 2ln(x)$ e la derivata di quest'ultimo mi fornisce la PDF cercata che vale: $P(x)= 2/x$ nell'intervallo tra $[1, e^3]$ che ricavo direttamente dai dati iniziali poichè mi viene detto che $u$ è uniforme in $[0,6]$
Per trovare la PDF di $PY(y)$ comincio ad avere problemi perchè non so come trattare la variabile binomiale $b$... potete indirizzarmi sulla giusta strada? vi ringrazio moltissimo
Risposte
intanto un'osservazione che mi pare il caso.....
se devo calcolare la media di $y=x+-b$
e b assume due valori speculari ed equiprobabili, come in questo caso....è ovvio che la media di $y$ coincide con la media di $x$
è banale!!
e si può fare il tutto con le proprietà delle medie così risolviamo tutto in un nanosecondo....
$E(Y)=E(X-b)=E(X)-E(b)=E(X)-0=6,36$
stessa cosa per la varianza....
$V(Y)=V(X-b)=V(X)+V(b)=26,60+144=170,6$
e anche per il momento secondo
$E(Y^2)=V(Y)+E^2(Y)=170,6+6,36^2=211,05$
fine dell'esercizio
se devo calcolare la media di $y=x+-b$
e b assume due valori speculari ed equiprobabili, come in questo caso....è ovvio che la media di $y$ coincide con la media di $x$
è banale!!
e si può fare il tutto con le proprietà delle medie così risolviamo tutto in un nanosecondo....
$E(Y)=E(X-b)=E(X)-E(b)=E(X)-0=6,36$
stessa cosa per la varianza....
$V(Y)=V(X-b)=V(X)+V(b)=26,60+144=170,6$
e anche per il momento secondo
$E(Y^2)=V(Y)+E^2(Y)=170,6+6,36^2=211,05$
fine dell'esercizio
Certo non c'è problema, chiedevo perchè mi era venuta la curiosità di conoscere queste vie "alternative" ma normalmente anche a lezione procediamo con il calcolo della $PY(y)$
Ultima domanda poi la smetto, giuro!
Per calcolare i vari momenti di $PY(y)$ devo necessariamente trattarle la sua PDF separatamente visto che è definita in due intervalli differenti?
Ultima domanda poi la smetto, giuro!
Per calcolare i vari momenti di $PY(y)$ devo necessariamente trattarle la sua PDF separatamente visto che è definita in due intervalli differenti?
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