PDF di Variabili Aleatorie Trasformate
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere la seconda parte di questo esercizio. Vi scrivo il testo:
Si considerino le variabili aleatorie (V.A.) $x$ ed $y$ ottenute dalle seguenti trasformazioni:
$ x = e^(u/2)$
$ y = x - b$
dove $b$ è una V.A. binomiale con determinazioni possibili ${-12}$ e ${+12}$ di eguale probabilità ed
$u$ è una V.A. uniforme nell’intervallo $[0, 6]$.
Si calcoli:
a) il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $x$
b) Il grafico della densità di probabilità $PX(x)$
c) il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $y$
d) Il grafico della densità di probabilità $PY(y)$
A questo punto calcolo la PDF $PX(x)$ come: $ x = e^(u/2)$ ---> $ u = 2ln(x)$ e la derivata di quest'ultimo mi fornisce la PDF cercata che vale: $P(x)= 2/x$ nell'intervallo tra $[1, e^3]$ che ricavo direttamente dai dati iniziali poichè mi viene detto che $u$ è uniforme in $[0,6]$
Per trovare la PDF di $PY(y)$ comincio ad avere problemi perchè non so come trattare la variabile binomiale $b$... potete indirizzarmi sulla giusta strada? vi ringrazio moltissimo
Si considerino le variabili aleatorie (V.A.) $x$ ed $y$ ottenute dalle seguenti trasformazioni:
$ x = e^(u/2)$
$ y = x - b$
dove $b$ è una V.A. binomiale con determinazioni possibili ${-12}$ e ${+12}$ di eguale probabilità ed
$u$ è una V.A. uniforme nell’intervallo $[0, 6]$.
Si calcoli:
a) il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $x$
b) Il grafico della densità di probabilità $PX(x)$
c) il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $y$
d) Il grafico della densità di probabilità $PY(y)$
A questo punto calcolo la PDF $PX(x)$ come: $ x = e^(u/2)$ ---> $ u = 2ln(x)$ e la derivata di quest'ultimo mi fornisce la PDF cercata che vale: $P(x)= 2/x$ nell'intervallo tra $[1, e^3]$ che ricavo direttamente dai dati iniziali poichè mi viene detto che $u$ è uniforme in $[0,6]$
Per trovare la PDF di $PY(y)$ comincio ad avere problemi perchè non so come trattare la variabile binomiale $b$... potete indirizzarmi sulla giusta strada? vi ringrazio moltissimo
Risposte
Avrai problemi con la $ f (y) $ ma anche con la $ f (x) $ . Infatti $ f (x)!=2/x $
Te ne accorgi subito provando a calcolare
$ int_(1)^(e^3) 2/xdx!=1$
Una volta corretta la densità, che ovviamente viene $ f_(X) (x)=1/(3x) $ puoi, applicando in maniera corretta lo stesso metodo, calcolare la $ f (y) $ ottenendo:
$ f_(Y)(y)={{: ( 1/(6 (y+12)), ;-11
PS: Seguendo la tua impostazione ti ho calcolato $f(y)$ ma ti faccio notare che, per il calcolo dei valori di sintesi non è necessario conoscere la densità di $y$ in quanto, ad esempio,
$E(Y)=int_(-oo)^(oo)yf(y)dy=int_(-oo)^(oo)g(x)f(x)dx$
....e la stessa cosa vale per il momento secondo, necessario per il calcolo del valor quadratico medio e per la varianza
Te ne accorgi subito provando a calcolare
$ int_(1)^(e^3) 2/xdx!=1$
Una volta corretta la densità, che ovviamente viene $ f_(X) (x)=1/(3x) $ puoi, applicando in maniera corretta lo stesso metodo, calcolare la $ f (y) $ ottenendo:
$ f_(Y)(y)={{: ( 1/(6 (y+12)), ;-11
PS: Seguendo la tua impostazione ti ho calcolato $f(y)$ ma ti faccio notare che, per il calcolo dei valori di sintesi non è necessario conoscere la densità di $y$ in quanto, ad esempio,
$E(Y)=int_(-oo)^(oo)yf(y)dy=int_(-oo)^(oo)g(x)f(x)dx$
....e la stessa cosa vale per il momento secondo, necessario per il calcolo del valor quadratico medio e per la varianza
Ho capito, sicuramente devo essermi perso qualche passaggio negli appunti della lezione perchè non riesco a seguire il tuo procedimento per ricavare la giusta $f(x)$.
Sono d'accordo che l'area sottesa all'integrale deve fare sempre $1$ quindi questa è una utile "prova" per vedere se ho sbagliato il calcolo.
Potresti gentilmente descrivere il procedimento che hai usato per trovare $f(x) = 1/(3x)$ ?
Almeno lo integro nei miei appunto sperando di fare chiarezza
Sono d'accordo che l'area sottesa all'integrale deve fare sempre $1$ quindi questa è una utile "prova" per vedere se ho sbagliato il calcolo.
Potresti gentilmente descrivere il procedimento che hai usato per trovare $f(x) = 1/(3x)$ ?
Almeno lo integro nei miei appunto sperando di fare chiarezza
supponiamo di avere un va $x$ dotata di $F(x)$ e vogliamo calcolare la densità di $y=g(x)$
dobbiamo distinguere diversi casi:
A) $g(X)$ crescente:
per definizione, la CDF di $y$ sarà
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(g(x)
dato che la densità è la derivata della CDF otteniamo subito che
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))d/(dy)g^(-1)$
Se invece $g(X)$ è decrescente allora
caso B)
$P(Yg^(-1)(y))=1-P(x
per cui, derivando otteniamo
$f_(Y)(y)=-f_(X)(g^(-1)(y))d/(dy)g^(-1)$
ora però osserviamo che, essendo $g$ decescente -> la sua derivata sarà minore di zero....per cui le due formule nel caso A) e B) sono identiche e quindi le compattiamo nella seguente:
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
se la $g(X)$ non è monotona, occorre estendere il discorso precedente "spezzando" la $g(x)$ in più funzioni monotone ottenendo:
$f_(Y)(y)=sum_(i=1)^(n)f_(X)(g_(i)^(-1))|d/(dy)g_(i)^(-1)|$
dobbiamo distinguere diversi casi:
A) $g(X)$ crescente:
per definizione, la CDF di $y$ sarà
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(g(x)
dato che la densità è la derivata della CDF otteniamo subito che
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))d/(dy)g^(-1)$
Se invece $g(X)$ è decrescente allora
caso B)
$P(Y
per cui, derivando otteniamo
$f_(Y)(y)=-f_(X)(g^(-1)(y))d/(dy)g^(-1)$
ora però osserviamo che, essendo $g$ decescente -> la sua derivata sarà minore di zero....per cui le due formule nel caso A) e B) sono identiche e quindi le compattiamo nella seguente:
$f_(Y)(y)=f_(X)(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$
se la $g(X)$ non è monotona, occorre estendere il discorso precedente "spezzando" la $g(x)$ in più funzioni monotone ottenendo:
$f_(Y)(y)=sum_(i=1)^(n)f_(X)(g_(i)^(-1))|d/(dy)g_(i)^(-1)|$
Ti ringrazio! come temevo mi mancava tutta questa spiegazione teorica che ora sto integrando.
Effettivamente come mi fai notare nel P.S. non mi serve la densità di $y$ quando posso "aggirarla" con la formula riportata.
Ora riguardo il tutto per cercare di schiarirmi le idee, in caso ti aggiorno con nuovi dubbi eheh :roll
PS: si si fino a qui è chiaro
Effettivamente come mi fai notare nel P.S. non mi serve la densità di $y$ quando posso "aggirarla" con la formula riportata.
Ora riguardo il tutto per cercare di schiarirmi le idee, in caso ti aggiorno con nuovi dubbi eheh :roll
PS: si si fino a qui è chiaro
ora prendiamo gli ingredienti del tuo problema (uso x e y invece che u e x ma non cambia nulla)
$X~ U[0;6] rarr f(x)=1/6I_([0;6])(x)$
$y=e^(x/2)$
e quindi $g^(-1)=2logy$
$|d/(dy)2logy|=2/y$
mettiamo tutto insieme e troviamo
$f_(Y)(y)=1/6\cdot2/y=1/(3y)$ nel dominio $[1;e^3]$
...provare per credere...l'integrale su tutto il dominio fa uno.
la densità di $y$ non è mandatoria ma è utile calcolarla per esercizio....fammi sapere se riesci perché ovvimente è facile ma ha bisogno di un piccolissimo ragionamento.....molto molto piccolo, per la verità
PS: un esercizio molto semplice che ti invito a fare è quello di prendere una distribuzione normale $X~ N(mu;sigma^2)$ ed applicare la seguente trasformazione $Y=(X-mu)/sigma$.
Calcolati la $f(y)$ con la formula che ti ho appena dimostrato e prova a vedere se ti torna una normale standard....
Poi prova a prendere la normale std, calcolare una nuova trasformazione $Y=X^2$ e controlla che ti esca una $chi_(1)^2$
ecc ecc
$X~ U[0;6] rarr f(x)=1/6I_([0;6])(x)$
$y=e^(x/2)$
e quindi $g^(-1)=2logy$
$|d/(dy)2logy|=2/y$
mettiamo tutto insieme e troviamo
$f_(Y)(y)=1/6\cdot2/y=1/(3y)$ nel dominio $[1;e^3]$
...provare per credere...l'integrale su tutto il dominio fa uno.
la densità di $y$ non è mandatoria ma è utile calcolarla per esercizio....fammi sapere se riesci perché ovvimente è facile ma ha bisogno di un piccolissimo ragionamento.....molto molto piccolo, per la verità
PS: un esercizio molto semplice che ti invito a fare è quello di prendere una distribuzione normale $X~ N(mu;sigma^2)$ ed applicare la seguente trasformazione $Y=(X-mu)/sigma$.
Calcolati la $f(y)$ con la formula che ti ho appena dimostrato e prova a vedere se ti torna una normale standard....
Poi prova a prendere la normale std, calcolare una nuova trasformazione $Y=X^2$ e controlla che ti esca una $chi_(1)^2$
ecc ecc
Edit perchè non avevo letto i tuoi ultimi post, seguo il tuo ragionamento che è sicuramente meglio 
OK dunque ho capito bene come è stata trovata la $f(x)$ in quanto uniforme nell'intervallo a noi noto.
Ora, prima di avventurarmi con gli esercizi che mi hai proposto, volevo cercare di trovare le varie risposte dell'esercizio così da avere un riferimento CORRETTO per il futuro, visto che potrei aver commesso altri errori negli appunti
Ora, prima di avventurarmi con gli esercizi che mi hai proposto, volevo cercare di trovare le varie risposte dell'esercizio così da avere un riferimento CORRETTO per il futuro, visto che potrei aver commesso altri errori negli appunti
beh già che ci siamo calcoliamo anche la $f(y)$ che comunque può servire per risolvere facilemente i punti dell'esercizio....senza può diventare più complesso il calcolo
facciamo un esempio simile all'esercizio ma un po' più semplice
supponiamo di avere una $f(x)=1/x$ definita in $x in [1;e]$
e vogliamo calcolare la densita di $y=x+10$
gli ingredienti del problema sono:
$f_(X)(x)=1/x$
$y=g(x)=x+10$
$g^(-1)(y)=y-10$
$d/(dy)g^(-1)=1$
quindi, sostituendo nella formula otteniamo
$f_(Y)(y)=1/(y-10)$ definita ovvimente (EDIT: corretto dopo segnalazione da parte dell'utente) in $y in[11;e+10]$
il tuo problema è analogo a questo...l'unica differenza è che la variabile $b$ assume 2 valori, con egual probabilità....per trovare la tua $f(y)$ basta quindi calcolare le due $f(y)$ corrispondenti alle 2 diverse realizzazioni e,ovviamente, anche la $f(y)$ va moltiplicata per la probabiltà del verificarsi di ogni singola realizzazione della b, ovvero $1/2$
con questo dovrebbe essere tutto chiaro...
facciamo un esempio simile all'esercizio ma un po' più semplice
supponiamo di avere una $f(x)=1/x$ definita in $x in [1;e]$
e vogliamo calcolare la densita di $y=x+10$
gli ingredienti del problema sono:
$f_(X)(x)=1/x$
$y=g(x)=x+10$
$g^(-1)(y)=y-10$
$d/(dy)g^(-1)=1$
quindi, sostituendo nella formula otteniamo
$f_(Y)(y)=1/(y-10)$ definita ovvimente (EDIT: corretto dopo segnalazione da parte dell'utente) in $y in[11;e+10]$
il tuo problema è analogo a questo...l'unica differenza è che la variabile $b$ assume 2 valori, con egual probabilità....per trovare la tua $f(y)$ basta quindi calcolare le due $f(y)$ corrispondenti alle 2 diverse realizzazioni e,ovviamente, anche la $f(y)$ va moltiplicata per la probabiltà del verificarsi di ogni singola realizzazione della b, ovvero $1/2$
con questo dovrebbe essere tutto chiaro...
Ok, direi di calcolare $g^-1$ dalla $ y = x + 10$ ; cioè $ g^-1(y) = y - 10$
edit: mi hai anticipato
edit: mi hai anticipato
sì sono stato un po' veloce....ora però dovrebbe essere tutto chiaro
PS: non ho mai sentito chiamare "binomiale" questa distibuzione
$b={{: ( -12 , 12 ),( 1/2 , 1/2 ) :}$
...comunque immagino che il testo intendesse proprio questa....almeno io ho inteso così
PS: non ho mai sentito chiamare "binomiale" questa distibuzione
$b={{: ( -12 , 12 ),( 1/2 , 1/2 ) :}$
...comunque immagino che il testo intendesse proprio questa....almeno io ho inteso così
Eh immagino di si, io ho ricopiato esattamente il testo del libro.
Comunque il tuo esempio è chiarissimo, devo un'attimo "assimilarlo" perchè avevo in testa un procedimento del tutto errato per risolvere questi esercizi.
Una domandina: l'intervallo in cui è definita $f(y)$ nell'esercizio semplificato che mi hai proposto non dovrebbe essere $[11, e+10]$ ?
PS: comunque credo proprio di aver capito, più rileggo i post iniziali e più mi sembra tutto chiaro!! Ti ringrazio tantissimo! Appena posso faccio anche gli esercizi sulla gaussiana
Comunque il tuo esempio è chiarissimo, devo un'attimo "assimilarlo" perchè avevo in testa un procedimento del tutto errato per risolvere questi esercizi.
Una domandina: l'intervallo in cui è definita $f(y)$ nell'esercizio semplificato che mi hai proposto non dovrebbe essere $[11, e+10]$ ?
PS: comunque credo proprio di aver capito, più rileggo i post iniziali e più mi sembra tutto chiaro!! Ti ringrazio tantissimo! Appena posso faccio anche gli esercizi sulla gaussiana
"Raven444":
Una domandina: l'intervallo in cui è definita $f(y)$ nell'esercizio semplificato che mi hai proposto non dovrebbe essere $[11, e+10]$ ?
azzzzz......
come vedi è un attimo sbagliare....correggo subito e mi scuso (però se hai notato l'errore significa che hai capito)
si si ci mancherebbe ahahah! Era chiaro che fosse una svista ma ho preferito chiedere per capire se usavo un procedimento errato anche nel calcolare l'insieme di definizione
Per concludere l'esercizio stavo controllando la domanda a, nella quale mi chiede:
a) Calcolare il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $x$.
Ma non dovrebbe chiedermi di calcolare quanto sopra per $PX(x)$ ? mi sbaglio?
a) Calcolare il valor medio, la varianza ed il valor quadratico medio della densità di probabilità $PY(y)$
della V.A. $x$.
Ma non dovrebbe chiedermi di calcolare quanto sopra per $PX(x)$ ? mi sbaglio?
sì...non l'avevo nemmeno letto....c'è un errore di stampa....anche perché poi per la y il quesito è ripetuto al punto c)
Ok, scusa ma come dicevo prima preferisco evidenziare anche le ovvietà per evitare di confondermi eheh
Tornando all'esercizio:
a) $ E[x] = \int_1^(e^3)x*(1/(3x))dx = 1/3 (e^3 -1) = 6.36 $ ;
$ E[x^2] = \int_1^(e^3)(x^2)*(1/(3x))dx = 1/6(e^6-1) = 67 $
varianza = $ 67 - (6.36)^2 = 26.55 $
Corretto?
Tornando all'esercizio:
a) $ E[x] = \int_1^(e^3)x*(1/(3x))dx = 1/3 (e^3 -1) = 6.36 $ ;
$ E[x^2] = \int_1^(e^3)(x^2)*(1/(3x))dx = 1/6(e^6-1) = 67 $
varianza = $ 67 - (6.36)^2 = 26.55 $
Corretto?
sì corretto...67,07 ->$V_(x)=26,60$
->$V_(x)=26,60$
si scusa ammetto che mi sono preso un pò troppe libertà nel riportare numericamente i valori;
a questo punto mi chiedevo se puoi indicarmi le formule per Valore atteso, Quadratico medio e Varianza che prescindono dal calcolo della PDF di Y così mi scrivo anche quelle che potrebbero tornare molto utili, sbaglio?
Edit: quella per il Valore Atteso mel'avevi già scritta all'inizio quindi non serve
a questo punto mi chiedevo se puoi indicarmi le formule per Valore atteso, Quadratico medio e Varianza che prescindono dal calcolo della PDF di Y così mi scrivo anche quelle che potrebbero tornare molto utili, sbaglio?
Edit: quella per il Valore Atteso mel'avevi già scritta all'inizio quindi non serve
mmmhh...ripensandoci meglio direi che per i valori di sintesi di $y$ è sufficiente utilizzare le proprietà di media e varianza
io intendo $ E[x^2] $ , almeno così è riportato testualmente negli appunti e nel libro
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