PDF congiunta
Ho due esercizi su quest' argomento da proporvi, per avere un confronto e un eventuale chiarimento :
1) Supponiamo che X sia uniformemente distribuita in (0,1).Quale è la pdf congiunta di un campione casuale di $5$ osservazioni di X?
Quanto valgono la media e la varianza della v.a. "Somma " e della v.a. "Valor medio" del campione ?
2) Supponiamo che il peso degli studenti di un college sia distribuito normalmente con media $mu = 60$ e varianza $sigma^2 = 25$.Se prendiamo un campione di $4$ studenti, calcolare :
a) la pdf congiunta dei loro pesi
b) il valore atteso e la varianza della somma e del valor medio del campione
----
Per il primo, per calcolare la pdf congiunta ho pensato che sia : $F(X1,...,X5)= F(X1)*F(X2)*....*F(X5) = 1^5$
Media v.a. somma : $SigmaE(X) = 1/2 xx 5 = 5/2$
Media v.a. media : $E(bar(X)) = 1/2$
Varianza v.a somma : $SigmaVar(X) = 1/12 * 5 = 5/12$
Varianza v.a. media : $Var(bar(X)) = 1/25 * 5/12 = 1/60$
Per risolverlo, ho applicato le definizioni della pdf congiunta.
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Per il secondo, non sono riuscito a calcolare la pdf congiunta dei pesi degli studenti.
Gli altri punti , invece , credo di averli fatti bene :
$SigmaE(X) = 4 xx 60 = 240$
$E(bar(X)) = 60$
$SigmaVar(X) = 4 * 25 = 100$
$Var(bar(X)) = 1/4 * 1/4 * 100 = 6,25$
C'è qualcuno che mi confermi che tutti i calcoli siano giusti e che mi aiuti a trovare il punto a) del 2°esercizio?
1) Supponiamo che X sia uniformemente distribuita in (0,1).Quale è la pdf congiunta di un campione casuale di $5$ osservazioni di X?
Quanto valgono la media e la varianza della v.a. "Somma " e della v.a. "Valor medio" del campione ?
2) Supponiamo che il peso degli studenti di un college sia distribuito normalmente con media $mu = 60$ e varianza $sigma^2 = 25$.Se prendiamo un campione di $4$ studenti, calcolare :
a) la pdf congiunta dei loro pesi
b) il valore atteso e la varianza della somma e del valor medio del campione
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Per il primo, per calcolare la pdf congiunta ho pensato che sia : $F(X1,...,X5)= F(X1)*F(X2)*....*F(X5) = 1^5$
Media v.a. somma : $SigmaE(X) = 1/2 xx 5 = 5/2$
Media v.a. media : $E(bar(X)) = 1/2$
Varianza v.a somma : $SigmaVar(X) = 1/12 * 5 = 5/12$
Varianza v.a. media : $Var(bar(X)) = 1/25 * 5/12 = 1/60$
Per risolverlo, ho applicato le definizioni della pdf congiunta.
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Per il secondo, non sono riuscito a calcolare la pdf congiunta dei pesi degli studenti.
Gli altri punti , invece , credo di averli fatti bene :
$SigmaE(X) = 4 xx 60 = 240$
$E(bar(X)) = 60$
$SigmaVar(X) = 4 * 25 = 100$
$Var(bar(X)) = 1/4 * 1/4 * 100 = 6,25$
C'è qualcuno che mi confermi che tutti i calcoli siano giusti e che mi aiuti a trovare il punto a) del 2°esercizio?
Risposte
la pdf congiunta non è altro che la funzione di verosimiglianza o densità del campione[nota]è necessario specificare che il campione sia casuale ma, come spesso capita negli esercizi che posti, sono molto molto imprecisi. Se sono copiati pari pari dai testi io lo farei presente al docente[/nota]
$L(ul(x))=1/(50pi)^2 e^(-1/50 sum_i(X_i-60)^2$
il resto va bene anche se alcuni calcoli fatti sono inutili....media e varianza della media campionaria sono quantità note.
$E[bar(X)]=mu$
$V[bar(X)]=sigma^2/n$
se non te l'ho ancora detto te lo dico ora: OGNI ESERCIZIO UN TOPIC, grazie
$L(ul(x))=1/(50pi)^2 e^(-1/50 sum_i(X_i-60)^2$
il resto va bene anche se alcuni calcoli fatti sono inutili....media e varianza della media campionaria sono quantità note.
$E[bar(X)]=mu$
$V[bar(X)]=sigma^2/n$
se non te l'ho ancora detto te lo dico ora: OGNI ESERCIZIO UN TOPIC, grazie
Scusami, comunque quindi per trovare la pdf congiunta dei pesi applico quella formula giusto? E al posto delle $X_t$ inserisco $n=1,2,3,4?$
No scusa, dovrei sapere i singoli pesi dei singoli studenti, quindi non posso calcolarla giusto?
Comunque sono copiati pari pari.
No scusa, dovrei sapere i singoli pesi dei singoli studenti, quindi non posso calcolarla giusto?
Comunque sono copiati pari pari.
Quella formula è solo il prodotto delle densità esattamente come hai fatto tu nell'altro esercizio. $X_i $ sono variabili casuali gaussiane
Quindi non posso trovare il valore numerico della pdf congiunta?
So bene di aver scritto una minchiata prima, infatti mi sono subito corretto.
So bene di aver scritto una minchiata prima, infatti mi sono subito corretto.
Il valore numerico di una variabile casuale????
Il l'importante è capirlo. Prendi le 4 variabili gaussiane, fanne il prodotto e vedi se ti ritrovi con la formula che ho scritto
Il l'importante è capirlo. Prendi le 4 variabili gaussiane, fanne il prodotto e vedi se ti ritrovi con la formula che ho scritto
Dice che non è casuale aahahhahaha, hai ragione sul fatto che i testi siano imprecisi, la mia domanda è nata proprio in relazione a questa ambiguità.
E comunque prima l'ho calcolato (nel 1° es) con valore $1$, perchè ora non potrei?
Se potessi farmi un attimino chiarezza.
E comunque prima l'ho calcolato (nel 1° es) con valore $1$, perchè ora non potrei?
Se potessi farmi un attimino chiarezza.
Ok mi trovo, non avevo capito che avessi portato il $5^2$ fuori dalla parentesi, quindi la formulazione è questa :
$F(x_i) = {e^[-1/2 (sum_{i=1}^4 (X_i - 60)/5)^2]}/{2500pi^2}$
$F(x_i) = {e^[-1/2 (sum_{i=1}^4 (X_i - 60)/5)^2]}/{2500pi^2}$
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