Passaggio di una dimostrazione
Sto studiando la dimostrazione di un teorema ma ci sono dei passaggi che non mi sono molto chiari.
Sia $S_k=\sum_{j=1}^kX_j$ dove $\{X_j\}_j$ sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite di media $0$ e varianza $\sigma^2$.
Sia $\delta>0$, nella dimostrazione si fa vedere che:
$\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}$ converge in legge ad una v.a. $Z$ che è una normale standard.
Fin qua ci sono.
Poi si fissa $\lambda>0$ e si considera una successione di funzioni $\{f_k\}_k$ su $\mathbb{R}$ continue e limitate t.c. $f_k\downarrow\mathbb{1}_{(-\infty, -\lambda]\cup[\lambda, +\infty)}$.
Perchè il libro dice che $\forall k$ sia ha che:
$\overline{\lim_{n\to+\infty}}P(|S_{[n\delta]+1}|\geq \lambda\sigma\sqrt{n\delta})\leq\lim_{n\to+\infty}\mathbb{E}(f_k(\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}))$?
Un'altra domanda:
perchè se $Z$ è una normale standard si ha che:
$P(|Z|\geq\lambda)\leq\frac{1}{\lambda^3}\mathbb{E}(|Z|^3)$?
Grazie a tutti!
Sia $S_k=\sum_{j=1}^kX_j$ dove $\{X_j\}_j$ sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite di media $0$ e varianza $\sigma^2$.
Sia $\delta>0$, nella dimostrazione si fa vedere che:
$\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}$ converge in legge ad una v.a. $Z$ che è una normale standard.
Fin qua ci sono.
Poi si fissa $\lambda>0$ e si considera una successione di funzioni $\{f_k\}_k$ su $\mathbb{R}$ continue e limitate t.c. $f_k\downarrow\mathbb{1}_{(-\infty, -\lambda]\cup[\lambda, +\infty)}$.
Perchè il libro dice che $\forall k$ sia ha che:
$\overline{\lim_{n\to+\infty}}P(|S_{[n\delta]+1}|\geq \lambda\sigma\sqrt{n\delta})\leq\lim_{n\to+\infty}\mathbb{E}(f_k(\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}))$?
Un'altra domanda:
perchè se $Z$ è una normale standard si ha che:
$P(|Z|\geq\lambda)\leq\frac{1}{\lambda^3}\mathbb{E}(|Z|^3)$?
Grazie a tutti!
Risposte
"stelladinatale":
Sto studiando la dimostrazione di un teorema ma ci sono dei passaggi che non mi sono molto chiari.
Sia $S_k=\sum_{j=1}^kX_j$ dove $\{X_j\}_j$ sono variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite di media $0$ e varianza $\sigma^2$.
Sia $\delta>0$, nella dimostrazione si fa vedere che:
$\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}$ converge in legge ad una v.a. $Z$ che è una normale standard.
Fin qua ci sono.
Poi si fissa $\lambda>0$ e si considera una successione di funzioni $\{f_k\}_k$ su $\mathbb{R}$ continue e limitate t.c. $f_k\downarrow\mathbb{1}_{(-\infty, -\lambda]\cup[\lambda, +\infty)}$.
Perchè il libro dice che $\forall k$ sia ha che:
$\overline{\lim_{n\to+\infty}}P(|S_{[n\delta]+1}|\geq \lambda\sigma\sqrt{n\delta})\leq\lim_{n\to+\infty}\mathbb{E}(f_k(\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}))$?
$\overline{\lim_{n\to+\infty}}P(|S_{[n\delta]+1}|\geq \lambda\sigma\sqrt{n\delta})=E(1_{(|S_{[n\delta]+1}|\geq \lambda\sigma\sqrt{n\delta})))=E(1_{(|1/(\sigma\sqrt{n\delta})S_{[n\delta]+1}|\in(-\infty,-\lambda]\cup [\lambda,\infty))}))$
A questo punto usi il fatto che $f_k$ è monotona e quindi è sempre maggiore o uguale al suo limite, per ogni $k$, da cui ottieni la disuguaglianza.
Il limite dovrebbe comparire, al posto del lim sup, per convergenza dominata dalla limitatezza e convergenza dell'integranda per continuità delle $f_k$?
"stelladinatale":
Un'altra domanda:
perchè se $Z$ è una normale standard si ha che:
$P(|Z|\geq\lambda)\leq\frac{1}{\lambda^3}\mathbb{E}(|Z|^3)$?
Grazie a tutti!
qua non c'entra nulla che $Z$ sia una normale, questa è la (un caso particolare della) dis. di Chebichev (o come cavolo si scrive
).
Ciao, grazie anche di questa risposta.
L'unica cosa che non capisco è perchè si passa dal $\overline{\lim_{n\to+\infty}}$ al $\lim_{n\to+\infty}$.
Per poter scrivere
$\overline{\lim_{n\to+\infty}}\mathbb{E}(\mathbb{1}_{\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}\in(-\infty, -\lambda]\cup[\lambda, +\infty)})\leq\overline{\lim_{n\to+\infty}}\mathbb{E}(f_k(\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}))=\lim_{n\to+\infty}\mathbb{E}(f_k(\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}))$
io devo essere sicura che l'ultimo limite esista.
Essendo le $f_k$ limitate so che sicuramente quel limite se esiste è finito.
Ma chi mi garantisce che esiste?
Per esempio se sapessi che la funzione $\mathbb{E}(f_k(\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}))$ è monotona rispetto a $n$ potrei concludere che il limite esiste sicuramente ma come faccio usando la continuità delle $f_k$?
Grazie mille.
L'unica cosa che non capisco è perchè si passa dal $\overline{\lim_{n\to+\infty}}$ al $\lim_{n\to+\infty}$.
Per poter scrivere
$\overline{\lim_{n\to+\infty}}\mathbb{E}(\mathbb{1}_{\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}\in(-\infty, -\lambda]\cup[\lambda, +\infty)})\leq\overline{\lim_{n\to+\infty}}\mathbb{E}(f_k(\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}))=\lim_{n\to+\infty}\mathbb{E}(f_k(\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}))$
io devo essere sicura che l'ultimo limite esista.
Essendo le $f_k$ limitate so che sicuramente quel limite se esiste è finito.
Ma chi mi garantisce che esiste?
Per esempio se sapessi che la funzione $\mathbb{E}(f_k(\frac{1}{\sigma\sqrt{n\delta}}S_{[n\delta]+1}))$ è monotona rispetto a $n$ potrei concludere che il limite esiste sicuramente ma come faccio usando la continuità delle $f_k$?
Grazie mille.
il limite rispetto a $n$ te lo garantisce la convergenza in legge delle funzioni che hai (come tu hai scritto nel primo passaggio).
E una successione converge in legge se e solo se per ogni funzione continua e limitata
$E(f(X_n))\to E(f(X))$ per $n\to \infty$. Nel tuo caso $X$ è una v.a. normale standard. Da qui la convergenza della speranza.
E una successione converge in legge se e solo se per ogni funzione continua e limitata
$E(f(X_n))\to E(f(X))$ per $n\to \infty$. Nel tuo caso $X$ è una v.a. normale standard. Da qui la convergenza della speranza.
Ok, perfetto! Grazie tante! Sei stato gentilissimo 
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