Partizione di Ω come algebra di eventi
Salve, riporto il testo di un esercizio che non mi è per nulla chiaro, e chiedo aiuto sullo svolgimento.
Data una partizione dell’evento certo $A = {A_1, A_2, ... , A_n}$, si dimostri che la famiglia degli insiemi $E ∈ \mathcal{P}(Ω)$ che sono le unioni di eventi della partizione è un’algebra: in formule si tratta della famiglia degli eventi del tipo:
$E = \bigcup_{i\in I} A_i = A_{i1} ∪ A_{i2} ∪ · · · ∪ A_{ik}$, con $I = {i1, · · · , ik} ⊆ {1, 2, · · · , n}$,
con la convenzione che se $I = ∅ \Rightarrow E= \bigcup_{i\in I} A_i = ∅$.
Per come ho interpretato l'esercizio ho pensato mi stesse chiedendo "se $Ω$ contiene $n$ eventi dimostrare che, comunque scelgo $k$ insiemi da una partizione di $Ω$ e li unisco, ottengo un'algebra, con $1<= k <= n$", ma questo (se non erro) non sarebbe vero poichè non sarebbe soddisfatta nemmeno la prima proprietà delle algebre di eventi, ovvero che $Ω$ appartiene all'algebra. Sto interpretando male l'esercizio? Oppure l'ho interpretato bene e si può dimostrare ma sono io che non ci riesco? Grazie in anticipo.
Data una partizione dell’evento certo $A = {A_1, A_2, ... , A_n}$, si dimostri che la famiglia degli insiemi $E ∈ \mathcal{P}(Ω)$ che sono le unioni di eventi della partizione è un’algebra: in formule si tratta della famiglia degli eventi del tipo:
$E = \bigcup_{i\in I} A_i = A_{i1} ∪ A_{i2} ∪ · · · ∪ A_{ik}$, con $I = {i1, · · · , ik} ⊆ {1, 2, · · · , n}$,
con la convenzione che se $I = ∅ \Rightarrow E= \bigcup_{i\in I} A_i = ∅$.
Per come ho interpretato l'esercizio ho pensato mi stesse chiedendo "se $Ω$ contiene $n$ eventi dimostrare che, comunque scelgo $k$ insiemi da una partizione di $Ω$ e li unisco, ottengo un'algebra, con $1<= k <= n$", ma questo (se non erro) non sarebbe vero poichè non sarebbe soddisfatta nemmeno la prima proprietà delle algebre di eventi, ovvero che $Ω$ appartiene all'algebra. Sto interpretando male l'esercizio? Oppure l'ho interpretato bene e si può dimostrare ma sono io che non ci riesco? Grazie in anticipo.
Risposte
"la famiglia degli insiemi che sono le unioni di eventi della partizione" contiene tutti gli insiemi di questo tipo. Anche l'unione di 0 eventi della partizione e l'unione di tutti gli eventi della partizione.
"ghira":
"la famiglia degli insiemi che sono le unioni di eventi della partizione" contiene tutti gli insiemi di questo tipo. Anche l'unione di 0 eventi della partizione e l'unione di tutti gli eventi della partizione.
Quindi mi stai dicendo che l’esercizio chiede di dimostrare che l’unione di tutti i possibili sottoinsiemi della partizione A è un’algebra? Va interpretato così?
"Aleeeessio":
Quindi mi stai dicendo che l’esercizio chiede di dimostrare che l’unione di tutti i possibili sottoinsiemi della partizione A è un’algebra? Va interpretato così?
Non credo di dirti questo. Prendi i tuoi \(A_i\). Crei tutti gli insiemi che puoi facendo le unioni di tutte le possibili combinazioni di \(A_i\) che vuoi. Ci sono \(2^n\) di queste combinazioni. Considera l'insieme di questi \(2^n\) insiemi.
"L'unione di tutti i possibili sottoinsiemi della partizione \(A\)" mi sembra \(A\), e non è la stessa cosa.
"ghira":
Non credo di dirti questo. Prendi i tuoi \(A_i\). Crei tutti gli insiemi che puoi facendo le unioni di tutte le possibili combinazioni di \(A_i\) che vuoi. Ci sono \(2^n\) di queste combinazioni. Considera l'insieme di questi \(2^n\) insiemi.
"L'unione di tutti i possibili sottoinsiemi della partizione \(A\)" mi sembra \(A\), e non è la stessa cosa.
Capisco, allora è come dire che devo dimostrare che tutte le possibili unioni di sottoinsiemi di A sono un’algebra? È una specie di insieme delle parti della partizione A, ma considerando unioni anzichè insiemi di insiemi?
"Aleeeessio":
Capisco, allora è come dire che devo dimostrare che tutte le possibili unioni di sottoinsiemi di A sono un’algebra? È una specie di insieme delle parti della partizione A, ma considerando unioni anzichè insiemi di insiemi?
Direi di sì. L'unione di elementi di questo insieme è un elemento dell'insieme? ecc.
Grazie, gentile e paziente !
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