PARERE SU UN PAIO DI ESERCIZI DI STATISTICA
Salve ragazzi,
mi chiamo Alessandro, studente al primo anno magistrale di Ingegneria Navale. Sono nuovo del forum ma più o meno ho capito come funziona dal momento che ci bazzico da un po'. In questi mesi infatti questo forum è stato di grandissimo aiuto per me e altri colleghi in procinto di sostenere l'esame di probabilità e statistica per i corsi di ingegneria alla Federico II di Napoli.
Oggi ho sostenuto la prova scritta e volevo chiedere il vostro parere sullo svolgimento di 2 dei miei 4 esercizi:
3.
Una produzione di uno stesso tipo di sfere per cuscinetti presenta diametri che si discostano dal valore nominale di non più di 20 micron con una probabilità dell’80%.
Supponendo che gli scostamenti seguano una legge normale, se ne calcoli la varianza.
La traccia fornisce implicitamente il dato $|X’-\mu| <= 20 $(dove con X’ ho indicato la media campionaria e con mu quella della popolazione) e la probabilità ad esso attribuita pari a 0.80.
Pertanto trovo la varianza come di seguito:
Pr $ [|X’-\mu |<=20]=0.80 $
Pr $[(|X’-\mu|/\sigma)<=20]=0.80 $
trovo la $\alpha/2$ come $[(1-0.80)/2]=0.10 $ e indico con z il valore da prendere dalla tabella della Normale standard. Dunque
pr$\[z_(\alpha/2)<=20]=0.80$
da cui
Pr$[1.282 <= 20/\sigma] = 0.80$
$\sigma = 20/1.282 = 15.60 $
$\sigma^2 = 243.38$
4.
Un campione casuale di 16 lampadine è stato testato a durata denunciando una vita media di 3000 ore con uno scarto tipo di 20 ore.
Assumendo un modello CDF Normale di parametri $\mu$ e $\sigma^2$ si valuti l’intervallo di confidenza di $\sigma$ al livello $1-\alpha = 0.90$
La traccia fornisce la media campionaria $X’ = 3000$ e scarto tipo campionario $S = 20$
Dal momento che la v.a. $X$ è una Normale e mi chiede di calcolare l’intervallo di confidenza della $\sigma$ conoscendo n e S scelgo di utilizzare la funzione ancillare Chi Quadrato come di seguito:
Pr$[k_1 <= [(n-1)S^2]/\sigma^2 <= k_2] = 0.90$
Dove $k_1$ è il valore della tabella in corrispondenza di $(16 – 1) $g.d.l. e $[1 – (\alpha/2)]=0.95$ e k_2 il valore della tabella per gli stessi gdl e $(\alpha/2)=0.05$.
Per cui ho continuato così:
pr$[ [(n-1)S^2]/k_2 <= \sigma^2 <= [(n-1)S^2]/k_1]=0.90$
da cui trovo che $240 <= \sigma^2 <= 826.4$
e $15.5 <= \sigma <= 28.75$
cosa ne pensate?
mi chiamo Alessandro, studente al primo anno magistrale di Ingegneria Navale. Sono nuovo del forum ma più o meno ho capito come funziona dal momento che ci bazzico da un po'. In questi mesi infatti questo forum è stato di grandissimo aiuto per me e altri colleghi in procinto di sostenere l'esame di probabilità e statistica per i corsi di ingegneria alla Federico II di Napoli.
Oggi ho sostenuto la prova scritta e volevo chiedere il vostro parere sullo svolgimento di 2 dei miei 4 esercizi:
3.
Una produzione di uno stesso tipo di sfere per cuscinetti presenta diametri che si discostano dal valore nominale di non più di 20 micron con una probabilità dell’80%.
Supponendo che gli scostamenti seguano una legge normale, se ne calcoli la varianza.
La traccia fornisce implicitamente il dato $|X’-\mu| <= 20 $(dove con X’ ho indicato la media campionaria e con mu quella della popolazione) e la probabilità ad esso attribuita pari a 0.80.
Pertanto trovo la varianza come di seguito:
Pr $ [|X’-\mu |<=20]=0.80 $
Pr $[(|X’-\mu|/\sigma)<=20]=0.80 $
trovo la $\alpha/2$ come $[(1-0.80)/2]=0.10 $ e indico con z il valore da prendere dalla tabella della Normale standard. Dunque
pr$\[z_(\alpha/2)<=20]=0.80$
da cui
Pr$[1.282 <= 20/\sigma] = 0.80$
$\sigma = 20/1.282 = 15.60 $
$\sigma^2 = 243.38$
4.
Un campione casuale di 16 lampadine è stato testato a durata denunciando una vita media di 3000 ore con uno scarto tipo di 20 ore.
Assumendo un modello CDF Normale di parametri $\mu$ e $\sigma^2$ si valuti l’intervallo di confidenza di $\sigma$ al livello $1-\alpha = 0.90$
La traccia fornisce la media campionaria $X’ = 3000$ e scarto tipo campionario $S = 20$
Dal momento che la v.a. $X$ è una Normale e mi chiede di calcolare l’intervallo di confidenza della $\sigma$ conoscendo n e S scelgo di utilizzare la funzione ancillare Chi Quadrato come di seguito:
Pr$[k_1 <= [(n-1)S^2]/\sigma^2 <= k_2] = 0.90$
Dove $k_1$ è il valore della tabella in corrispondenza di $(16 – 1) $g.d.l. e $[1 – (\alpha/2)]=0.95$ e k_2 il valore della tabella per gli stessi gdl e $(\alpha/2)=0.05$.
Per cui ho continuato così:
pr$[ [(n-1)S^2]/k_2 <= \sigma^2 <= [(n-1)S^2]/k_1]=0.90$
da cui trovo che $240 <= \sigma^2 <= 826.4$
e $15.5 <= \sigma <= 28.75$
cosa ne pensate?
Risposte
In realtà a questa cosa della $\X'$ ci avevo pensato, per questo non ho inserito quella indicazione all'esame, anche se per la simbologia che utilizziamo noi di solito avrei dovuto mettere una $\X$ come hai scritto tu e non $\X'$... Vabbé, all'orale spiegherò che è stata la fretta!
Per quanto concerne la $\sigma$ è stato un refuso, spero di non averlo fatto anche lì!!
Ora non mi resta che ripetere per l'orale...
Grazie mille per la risposta celere e dettagliata!
Buona giornata!
Per quanto concerne la $\sigma$ è stato un refuso, spero di non averlo fatto anche lì!!
Ora non mi resta che ripetere per l'orale...
Grazie mille per la risposta celere e dettagliata!
Buona giornata!
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