Paradosso del compleanno da un altro punto di vista
Salve, non riesco a risolvere il seguente problema:
Per calcolare la probabilita' che tra $ n<=365 $ persone non ve ne siano 2 che compiono gli anni lo stesso giorno devo considerare:
- $ 365^n $ esiti diversi (ad ogni persona chiedo quando e' nata e ognuna ha 365 modi diversi di rispondere)
- $ 365 * 364 * ... * (365-n+1) $ casi favorevoli (la prima ha $ 365 $ date disponibili, la seconda ha $365$ date disponibili meno la data scelta dal primo quindi $ 364 $ , la terza ha $365$ date disponibili meno la data scelta dei primi 2 e cosi via...)
La probablita' dell'evento cercato e' quindi $ P(E) = [365 * 364 * ... * (365-n+1)] / 365^n$.
Per giustificare il fatto che ogni coppia ha la probabilta' $1/365$ di essere nata nello stesso giorno, ho seguito questo ragionamento:
Denotiamo con $ F_k $ l'evento: "la k-esima coppia e' formata da persone nate in giorni diversi"
$ P(F_k) = [365*364]/[365*365] = 364/365$
Con $ \bar F_k $ denotiamo invece l'evento: "la k-esima coppia e' formata da persone nate in giorni uguali" quindi:
$P(\bar F_k) = 1-P(F_k) = 1-364/365 = 1/365$
Inoltre dato che entrambe le probabilita' sono uguali per ogni k (per ogni elemento dello spazio), si puo' affermare che siamo all'interno di uno spazio equiprobabile.
Ora non so piu' cosa fare. Perche' nel problema vengono calcolati i $((23),(2)) = 253$ modi diversi di formare una coppia, cosa me ne faccio?
Una volta calcolate le coppie come posso continuare?
[size=150]Edit: il non in grassetto e sottolineato e' stato aggiunto in seguito, mi sono accorto in un secondo momento di aver dimenticato questo grosso particolare[/size]
Consideriamo un gruppo di 23 persone. Le diverse coppie all'interno dell'insieme sono $((23),(2)) = 253$ e ogni coppia ha probabilita' $ 1/365 $ di condividere il medesimo giorno del compleanno. Perche' allora la probabilita' che almeno due persone compiano gli anni lo stesso giorno non vale semplicemente $ 253/365 $ ?
Per calcolare la probabilita' che tra $ n<=365 $ persone non ve ne siano 2 che compiono gli anni lo stesso giorno devo considerare:
- $ 365^n $ esiti diversi (ad ogni persona chiedo quando e' nata e ognuna ha 365 modi diversi di rispondere)
- $ 365 * 364 * ... * (365-n+1) $ casi favorevoli (la prima ha $ 365 $ date disponibili, la seconda ha $365$ date disponibili meno la data scelta dal primo quindi $ 364 $ , la terza ha $365$ date disponibili meno la data scelta dei primi 2 e cosi via...)
La probablita' dell'evento cercato e' quindi $ P(E) = [365 * 364 * ... * (365-n+1)] / 365^n$.
Per giustificare il fatto che ogni coppia ha la probabilta' $1/365$ di essere nata nello stesso giorno, ho seguito questo ragionamento:
Denotiamo con $ F_k $ l'evento: "la k-esima coppia e' formata da persone nate in giorni diversi"
$ P(F_k) = [365*364]/[365*365] = 364/365$
Con $ \bar F_k $ denotiamo invece l'evento: "la k-esima coppia e' formata da persone nate in giorni uguali" quindi:
$P(\bar F_k) = 1-P(F_k) = 1-364/365 = 1/365$
Inoltre dato che entrambe le probabilita' sono uguali per ogni k (per ogni elemento dello spazio), si puo' affermare che siamo all'interno di uno spazio equiprobabile.
Ora non so piu' cosa fare. Perche' nel problema vengono calcolati i $((23),(2)) = 253$ modi diversi di formare una coppia, cosa me ne faccio?
Una volta calcolate le coppie come posso continuare?
[size=150]Edit: il non in grassetto e sottolineato e' stato aggiunto in seguito, mi sono accorto in un secondo momento di aver dimenticato questo grosso particolare[/size]
Risposte
"dark777":
Perche' nel problema vengono calcolati i $((23),(2)) = 253$ modi diversi di formare una coppia, cosa me ne faccio?
Una volta calcolate le coppie come posso continuare?
Potresti calcolare $(\frac{364}{365})^{253}$. Gli eventi non sono indipendenti, ma trattarli come incompatibili è anche peggio.
Mi sono dimenticato di scrivere che non posso ragionare in termini di eventi indipendenti e incompatibili, perche' e' un esercizio preso dal libro, e quegli argomenti non sono stai ancora trattati.
"dark777":
Mi sono dimenticato di scrivere che non posso ragionare in termini di eventi indipendenti e incompatibili, perche' e' un esercizio preso dal libro, e quegli argomenti non sono stai ancora trattati.
Come si spiega il prodotto in "La probablita' dell'evento cercato e' quindi...", allora?
$ P(E) = [365 * 364 * ... * (365-n+1)] / 365^n $
Come si spiega il prodotto in "La probablita' dell'evento cercato e' quindi...", allora?[/quote]
E' (numero di casi favorevoli)/(numero di possibili esiti), cosa sbaglio?
"ghira":
[quote="dark777"]Mi sono dimenticato di scrivere che non posso ragionare in termini di eventi indipendenti e incompatibili, perche' e' un esercizio preso dal libro, e quegli argomenti non sono stai ancora trattati.
Come si spiega il prodotto in "La probablita' dell'evento cercato e' quindi...", allora?[/quote]
E' (numero di casi favorevoli)/(numero di possibili esiti), cosa sbaglio?
"dark777":
Perche' allora la probabilita' che almeno due persone compiano gli anni lo stesso giorno non vale semplicemente $ 253/365 $ ?
E se ci fossero 28 persone?
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