Palline da estrarre da un'urna per essere sicuri al 90%...
Salve a tutti. Ho cercato di risolvere il seguente esercizio, ma sono quasi sicuro di aver commesso degli errori, specialmente nella risoluzione della domanda #3.
Un'urna A contiene n palline tutte rosse.
Un’urna B contiene n palline, di cui r rosse e n − r bianche.
Si sceglie a caso un’urna e da essa si effettua una successione di estrazioni con rimpiazzo.
1)Quante estrazioni sono necessarie in media per veder comparire per la prima volta una pallina rossa?
2) Sapendo che le prime k palline estratte sono rosse, qual è la probabilità che l’urna dalla quale esse sono state estratte sia l’urna A?
3) Supponendo che n = 12, r = 4, quanto grande dovrà essere k perché si possa concludere che l’urna da cui le palline sono state estratte sia l’urna A con una probabilità almeno del 90%?
1)Sia $x$ la v.c. che conta il numero di estrazioni da effettuare per ottenere il primo successo (pallina rossa), ho supposto che fosse distribuita come una geometrica di parametro $p=1/2*n+1/2*r/n$ e che quindi $E[x]=1/p$ .
2)Definendo gli eventi:
$A$=palline estratte dall'urna A,
$K$=le prime k palline sono rosse,
$P(A|K)=(P(K|A)*P(A))/(P(K))=(1/2)/(1/2*(1+r/n))^k$.
3) Ho eguagliato l'equazione di cui sopra a $0.9$, ho sostituito i valori $n$ e $r$ e ho ricavato $k=1.45$ (che mi sembra un valore troppo basso).
Di tutto quello che ho scritto, quanto è giusto?!
Grazie per l'aiuto!
Un'urna A contiene n palline tutte rosse.
Un’urna B contiene n palline, di cui r rosse e n − r bianche.
Si sceglie a caso un’urna e da essa si effettua una successione di estrazioni con rimpiazzo.
1)Quante estrazioni sono necessarie in media per veder comparire per la prima volta una pallina rossa?
2) Sapendo che le prime k palline estratte sono rosse, qual è la probabilità che l’urna dalla quale esse sono state estratte sia l’urna A?
3) Supponendo che n = 12, r = 4, quanto grande dovrà essere k perché si possa concludere che l’urna da cui le palline sono state estratte sia l’urna A con una probabilità almeno del 90%?
1)Sia $x$ la v.c. che conta il numero di estrazioni da effettuare per ottenere il primo successo (pallina rossa), ho supposto che fosse distribuita come una geometrica di parametro $p=1/2*n+1/2*r/n$ e che quindi $E[x]=1/p$ .
2)Definendo gli eventi:
$A$=palline estratte dall'urna A,
$K$=le prime k palline sono rosse,
$P(A|K)=(P(K|A)*P(A))/(P(K))=(1/2)/(1/2*(1+r/n))^k$.
3) Ho eguagliato l'equazione di cui sopra a $0.9$, ho sostituito i valori $n$ e $r$ e ho ricavato $k=1.45$ (che mi sembra un valore troppo basso).
Di tutto quello che ho scritto, quanto è giusto?!
Grazie per l'aiuto!
Risposte
1) Direi $E[X]=E[X|A]*P(A)+E[X|B]*P(B)=1*1/2+n/r*1/2$
2) Non mi torna il tuo denominatore. Mi risulta $P(K)=P(K|A)*P(A)+P(K|B)*P(B)=1*1/2+(r/n)^k*1/2$
2) Non mi torna il tuo denominatore. Mi risulta $P(K)=P(K|A)*P(A)+P(K|B)*P(B)=1*1/2+(r/n)^k*1/2$
Ciao Cenzo, grazie per la disponibilità!
1)Al posto di $p=n/2+r/2n$ intendevo scrivere $1/2+r/2n$ (probabilità evento $R=$ la prima pallina estratta è rossa).
Detto questo,non mi è chiaro concettualmente cosa hai calcolato nel punto 1, e cosa intenda per $X$. Inoltre, sostituendo nella tua formula $n/r$ con $r/n$ si ottiene $P(R)$ (intendevi scrivere questo? in tal caso tale richiesta era già stata fatta dal problema in un punto precedente che non ho postato)
2)Per il punto due non ci sono dubbi: hai ragione tu (nella fretta ho commesso un errore banale).
3)Utilizzando la formula correttamente impostata nel punto due, posso risolvere il punto 3?
1)Al posto di $p=n/2+r/2n$ intendevo scrivere $1/2+r/2n$ (probabilità evento $R=$ la prima pallina estratta è rossa).
Detto questo,non mi è chiaro concettualmente cosa hai calcolato nel punto 1, e cosa intenda per $X$. Inoltre, sostituendo nella tua formula $n/r$ con $r/n$ si ottiene $P(R)$ (intendevi scrivere questo? in tal caso tale richiesta era già stata fatta dal problema in un punto precedente che non ho postato)
2)Per il punto due non ci sono dubbi: hai ragione tu (nella fretta ho commesso un errore banale).
3)Utilizzando la formula correttamente impostata nel punto due, posso risolvere il punto 3?
Ciao,
Credo che intendessi scrivere $p=1/2+1/2*r/n$ , giusto ?
Credo inoltre di avere compreso il tuo ragionamento. Hai calcolato $p$ e, assumendo una distribuzione geometrica, concludi che il numero medio di estrazioni è $1/p$ (appunto, la media della geometrica).
Quello che non mi torna è che la distribuzione sia geometrica.
Con $X$ intendo la stessa variabile che hai utilizzato anche tu, cioè
Il problema chiede quindi il valore atteso $E[X]$. L'ho calcolato condizionando rispetto all'evento "urna scelta".
Se scelgo l'urna A ($P(A)=1/2$), il numero medio di estrazioni per avere la prima rossa è $1$. Dato che ci sono solo palline rosse, la prima estratta sarà sempre e solo rossa.
Se scelgo l'urna B ($P(B)=1/2$), la distribuzione è geometrica, con $P("rossa")=r/n$ e valore atteso quello della geometrica, cioè $1/P=n/r$.
Da cui la formuletta che avevo scritto al post di prima.
Si, dovrebbe venire $k>=2$
"billytalentitalianfan":
1)Al posto di $p=n/2+r/2n$ intendevo scrivere $1/2+r/2n$ (probabilità evento $R=$ la prima pallina estratta è rossa).
Credo che intendessi scrivere $p=1/2+1/2*r/n$ , giusto ?
Credo inoltre di avere compreso il tuo ragionamento. Hai calcolato $p$ e, assumendo una distribuzione geometrica, concludi che il numero medio di estrazioni è $1/p$ (appunto, la media della geometrica).
Quello che non mi torna è che la distribuzione sia geometrica.
Con $X$ intendo la stessa variabile che hai utilizzato anche tu, cioè
"billytalentitalianfan":
Sia x la v.c. che conta il numero di estrazioni da effettuare per ottenere il primo successo (pallina rossa)
Il problema chiede quindi il valore atteso $E[X]$. L'ho calcolato condizionando rispetto all'evento "urna scelta".
Se scelgo l'urna A ($P(A)=1/2$), il numero medio di estrazioni per avere la prima rossa è $1$. Dato che ci sono solo palline rosse, la prima estratta sarà sempre e solo rossa.
Se scelgo l'urna B ($P(B)=1/2$), la distribuzione è geometrica, con $P("rossa")=r/n$ e valore atteso quello della geometrica, cioè $1/P=n/r$.
Da cui la formuletta che avevo scritto al post di prima.
"billytalentitalianfan":
3)Utilizzando la formula correttamente impostata nel punto due, posso risolvere il punto 3?
Si, dovrebbe venire $k>=2$
Perfetto, ancora un piccolo passo e mi hai trasmesso completamente la tua "sapienza" 
Perché la distribuzione "complessiva" non è geometrica? Come posso rendermene conto?
Perché la distribuzione "complessiva" non è geometrica? Come posso rendermene conto?
"billytalentitalianfan":
Perché la distribuzione "complessiva" non è geometrica? Come posso rendermene conto?
Un metodo può essere quello diretto.
Prova a calcolare la funzione massa di probabilità (o la "densità discreta", non so come la chiami) della v.c. $X$.
Cioè prova a calcolare $P(X=k)$, la probabilità che la prima rossa esca alla estrazione $k$.
Se la distribuzione che ne esce ha la "faccia" di una geometrica, allora la distribuzione complessiva è geometrica, altrimenti no.
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