$P(A|B\cap C)=P(A|C)$ se A e B indipendenti
La domanda è semplice: se A e B sono eventi indipendenti, è vero allora che $P(A|B\cap C)=P(A|C)$ 
Se sì, non riesco a dimostrarlo... Eppure leggendo l'enunciato mi aspettavo che la dimostrazione fosse abbastanza banale.
$$P(A|B\cap C)=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)}=\frac{P(C|A\cap B)P(A)P(B)}{P(B\cap C)}$$
che è l'unico modo per sfruttare l'indipendenza di A e B. Ora, l'ultimo termine dovrebbe essere uguale a:
$$P(A|C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}$$
ma non vedo motivo per cui debba essere vero
Qualcuno ha qualche input in più?
Se sì, non riesco a dimostrarlo... Eppure leggendo l'enunciato mi aspettavo che la dimostrazione fosse abbastanza banale.
$$P(A|B\cap C)=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)}=\frac{P(C|A\cap B)P(A)P(B)}{P(B\cap C)}$$
che è l'unico modo per sfruttare l'indipendenza di A e B. Ora, l'ultimo termine dovrebbe essere uguale a:
$$P(A|C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}$$
ma non vedo motivo per cui debba essere vero
Qualcuno ha qualche input in più?
Risposte
La proposizione è falsa.
La motivazione risiede nel fatto che, anche se A e B sono indipendenti - e dunque sapere B non modifica la probabilità di A- l'informazione di B, se unità a quella di C, può produrre una informazione utile sul verificarsi di A.
Ti lascio pensare ad un controesempio.
Ciao
La motivazione risiede nel fatto che, anche se A e B sono indipendenti - e dunque sapere B non modifica la probabilità di A- l'informazione di B, se unità a quella di C, può produrre una informazione utile sul verificarsi di A.
Ti lascio pensare ad un controesempio.
Ciao
Ti ringrazio molto della risposta.
Quello che mi lascia a bocca aperta è che in questo articolo: https://www.researchgate.net/publicatio ... ion_filter la usano più e più volte... (pag.88 e 89, la parte in grigio scuro)
Quello che mi lascia a bocca aperta è che in questo articolo: https://www.researchgate.net/publicatio ... ion_filter la usano più e più volte... (pag.88 e 89, la parte in grigio scuro)
Guarda, riporto proprio uno dei passaggi incriminati:
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(x(k+1)|z(1)...z(k+1)A_i(k+1))\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
dove \(\displaystyle A_1(k+1)...A_{M(k+1)}(k+1) \) è un decomposizione dello spazio campionario. La notazione è la stessa che ho usato (e brevemente descritto) qui: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4&t=205946. Ma al di là della notazione, basta vedere ognuno di quelli come eventi e fine (\(\displaystyle z(1)...z(k+1) \) significa \(\displaystyle z(1)\cap ...\cap z(k+1) \)).
Il fattore \(\displaystyle p(x(k+1)|z(1)...z(k+1)A_i(k+1)) \) si può anche scrivere come: \(\displaystyle \frac{p(x(k+1)z(1)...z(k+1)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))} = \frac{p(z(k+1)|x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1)) \cdot p(x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))} \)
da cui risostituendo nella prima equazione:
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(z(k+1)|x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1)) \cdot\frac{ p(x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))}\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
Ultimo passaggio, si riscrive \(\displaystyle p(x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1)) \) come \(\displaystyle p(x(k+1)|z(1)...z(k)A_i(k+1))\cdot p(z(1)...z(k)A_i(k+1)) \):
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(z(k+1)|x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1)) \cdot p(x(k+1)|z(1)...z(k)A_i(k+1))\cdot\frac{ p(z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))}\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
Qui gli autori dicono due cose:
1. poiché \(\displaystyle z(k+1) \) non dipende dalle precedenti \(\displaystyle z(1)...z(k) \), e poiché \(\displaystyle x(k+1) \) non dipende da \(\displaystyle A_i(k+1) \), il tutto si semplifica in:
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(z(k+1)|x(k+1)A_i(k+1)) \cdot p(x(k+1)|z(1)...z(k))\cdot\frac{ p(z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))}\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
2. rinominano \(\displaystyle \frac{ p(z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))} := \frac{1}{c} \) e lo portano fuori dalla sommatoria, chiamandolo 'coefficiente di normalizzazione'.
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\frac{1}{c}\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(z(k+1)|x(k+1)A_i(k+1)) \cdot p(x(k+1)|z(1)...z(k))\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(x(k+1)|z(1)...z(k+1)A_i(k+1))\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
dove \(\displaystyle A_1(k+1)...A_{M(k+1)}(k+1) \) è un decomposizione dello spazio campionario. La notazione è la stessa che ho usato (e brevemente descritto) qui: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4&t=205946. Ma al di là della notazione, basta vedere ognuno di quelli come eventi e fine (\(\displaystyle z(1)...z(k+1) \) significa \(\displaystyle z(1)\cap ...\cap z(k+1) \)).
Il fattore \(\displaystyle p(x(k+1)|z(1)...z(k+1)A_i(k+1)) \) si può anche scrivere come: \(\displaystyle \frac{p(x(k+1)z(1)...z(k+1)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))} = \frac{p(z(k+1)|x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1)) \cdot p(x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))} \)
da cui risostituendo nella prima equazione:
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(z(k+1)|x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1)) \cdot\frac{ p(x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))}\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
Ultimo passaggio, si riscrive \(\displaystyle p(x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1)) \) come \(\displaystyle p(x(k+1)|z(1)...z(k)A_i(k+1))\cdot p(z(1)...z(k)A_i(k+1)) \):
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(z(k+1)|x(k+1)z(1)...z(k)A_i(k+1)) \cdot p(x(k+1)|z(1)...z(k)A_i(k+1))\cdot\frac{ p(z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))}\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
Qui gli autori dicono due cose:
1. poiché \(\displaystyle z(k+1) \) non dipende dalle precedenti \(\displaystyle z(1)...z(k) \), e poiché \(\displaystyle x(k+1) \) non dipende da \(\displaystyle A_i(k+1) \), il tutto si semplifica in:
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(z(k+1)|x(k+1)A_i(k+1)) \cdot p(x(k+1)|z(1)...z(k))\cdot\frac{ p(z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))}\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
2. rinominano \(\displaystyle \frac{ p(z(1)...z(k)A_i(k+1))}{p(z(1)...z(k+1)A_i(k+1))} := \frac{1}{c} \) e lo portano fuori dalla sommatoria, chiamandolo 'coefficiente di normalizzazione'.
\[ p(x(k+1)|z(1)...z(k+1))=\frac{1}{c}\sum_{i=1}^{M(k+1)}p(z(k+1)|x(k+1)A_i(k+1)) \cdot p(x(k+1)|z(1)...z(k))\cdot p(A_i(k+1)|z(1)...z(k+1)) \]
Potrebbe esserci qualche informazione sui processi e A che aiuta ad ottenere quella semplificazione. Non so, lascio a te o qualcun'altro studiarla.
Per la tua domanda originale, basta prendere due lanci di una moneta è considerare gli eventi:
A=testa al primo lancio
B=testa al secondo
C=i due lanci sono diversi.
Per la tua domanda originale, basta prendere due lanci di una moneta è considerare gli eventi:
A=testa al primo lancio
B=testa al secondo
C=i due lanci sono diversi.
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