P di variabili causali multidimensionali

[guardian1]

Sia (X; Y ) un vettore aleatorio continuo con densitàa congiunta

$ e^{<-(x+y)>} $
per x,y >0

Calcolare P(1 < X + Y < 2).


L'ho impostato trovando P(1-x< y < 2-x)

integrando

$ int int_(<1-x>)^(<2-x>) f(x,y) \ dy \ dx $

solo che la x non deve andare da 0 ad inf ma, sapendo che anche la y deve essere positiva, devo porre
2-x > 0
e dunque x<2

da cui nell'integrale doppio, la x va da 0 a 2?

ogni tanto non sono sicurissimo sugli estremi di integrazione.
Solitamente esprimo la y in funzione della x, e la x la lascio andare in tutto il suo dominio

[cenzo1]

"guardian1":solo che la x non deve andare da 0 ad inf ma, sapendo che anche la y deve essere positiva, devo porre
2-x > 0
e dunque x<2

Qualcosa non mi torna. Se x=2 risulterebbe $-1< y < 0$

Penso invece che devi imporre $0<1-x< y$ da cui $x<1$

[guardian1]

sì, avrei dovuto mettere in sistema sia 1-x che 2-x e avrei trovato x<1

tnx

[guardian1]

vediamo se ho capito bene, rilancio con un esercizio analogo

Sia (X; Y ) un vettore aleatorio bidimensionale avente distribuzione
uniforme su D ={(x; y) appartiene R^2; |x + y| <=1; y <= 0}

- Si calcoli COV[x,y]
- Si stabilisca se X e Y sono indipendenti.

Trovo la distribuzione di f(x,y) integrando una costante (essendo uniforme)

$ int int_(<-1-x>)^(<1-x>) C dy dx $

in dy integro da -1-x a 1-x

dovendo essere la y<0,
$ ( ( <-1-x ),( <1-x<0> ) ) $

e dunque x>1 ?

e dunque vado ad integrare la x da 1 ad infinito?

Però facendo un grafico o ad esempio poenento X=0 e Y=0 le condizioni sono comunque rispettate (la somma minore di 1 e y <=0)

[guardian1]

comunque la parte di piano è la striscia compresa tra le rette
$ y=1-x$
$Y=-1-x$
nella parte di piano $Y<0$

essendo una distribuzione uniforme, non dovrebbe avere valore pari all'inferso dell'area del dominio? e dunque in questo caso, essendo il dominio infinito, 0 ?

[guardian1]

ho ufficialmente qualche problema negli estremi di integrazione delle variabili casuali multidimensionali. Ed avendo il compito tra un paio di giorni non è esaltante.

esempio

Sia (X; Y ) un vettore aleatorio bidimensionale avente distribuzione
uniforme su D ={ (x; y) in $R^2$; $x^2 + y^2 <= 1$; $x < 0 $}

mi chiede covarianza, se X ed Y sono indipendenti ecc.

Il problema è trovare la distribuzione congiunta.

In questo caso sarebbe facile, essendo un cerchio con P uniforme. Ma per esercizio vorrei provare comunque a svolgere i calcoli, applicando la proprietà che l'integrale doppio da -inf a +inf =1

Quali sono in questo caso gli estremi di integrazioni per dx e dy?

grazie