Operazioni su valore atteso e varianza e costruzione V.A.
Ciao ragazzi questo è il mio esercizio:
Siano X una V.A $N(-1, 1)$, Y e Z due V.A. $N(0, 9)$ indipendenti
1) calcolare $E[1-(X-2Y)^2]$ e $Var(-3X + Y + 2)$
Allora, vediamo se posso applicare le proprietà del valore atteso e se mi portano a qualcosa...
$E[1-(X-2Y)^2] = 1 - E[(X-2Y)^2]$ se posso fare il quadrato del binomio, ottengo
$1 - E[X^2-4YX + 4Y^2] = 1- E[X^2] + 4E[X]E[Y] - 4E[Y^2]$ ma a questo punto come procedo? io conosco solo la $E[X]$ per la V.A. normale ma non la X^2. Come me la ricavo?
Mentre, per la varianza: $Var(-3X + Y + 2) = 9Var(X) + Var(Y) = 18$ è corretto?
2)Costruire a partire da X, Y, Z, una V.A. di Student con due gradi di libertà. Allora, sulla teoria ho che la V.A. di Student è composta da una V.A. normale e da una $chi^2$ formata a sua volta da altre V.A. normali. Il grado di libertà è dato dal numero degli elementi che compongono la V.A. $chi^2$
Quindi io dovrei sommare Y+Z = A per ottenere $chi^2$ e ottenere la student $T=X/(sqrt((A/2)))$. Corretto? Ma ora, questi calcoli andrebbero fatti? se sì, come? Per la somma di Z+Y non ho grossi problemi in quanto: $A = Z+Y = N(0, 18)$. E' corretto il mio svolgimento?
Siano X una V.A $N(-1, 1)$, Y e Z due V.A. $N(0, 9)$ indipendenti
1) calcolare $E[1-(X-2Y)^2]$ e $Var(-3X + Y + 2)$
Allora, vediamo se posso applicare le proprietà del valore atteso e se mi portano a qualcosa...
$E[1-(X-2Y)^2] = 1 - E[(X-2Y)^2]$ se posso fare il quadrato del binomio, ottengo
$1 - E[X^2-4YX + 4Y^2] = 1- E[X^2] + 4E[X]E[Y] - 4E[Y^2]$ ma a questo punto come procedo? io conosco solo la $E[X]$ per la V.A. normale ma non la X^2. Come me la ricavo?
Mentre, per la varianza: $Var(-3X + Y + 2) = 9Var(X) + Var(Y) = 18$ è corretto?
2)Costruire a partire da X, Y, Z, una V.A. di Student con due gradi di libertà. Allora, sulla teoria ho che la V.A. di Student è composta da una V.A. normale e da una $chi^2$ formata a sua volta da altre V.A. normali. Il grado di libertà è dato dal numero degli elementi che compongono la V.A. $chi^2$
Quindi io dovrei sommare Y+Z = A per ottenere $chi^2$ e ottenere la student $T=X/(sqrt((A/2)))$. Corretto? Ma ora, questi calcoli andrebbero fatti? se sì, come? Per la somma di Z+Y non ho grossi problemi in quanto: $A = Z+Y = N(0, 18)$. E' corretto il mio svolgimento?
Risposte
"Max861126":
ma a questo punto come procedo? io conosco solo la $E[X]$ per la V.A. normale ma non la X^2. Come me la ricavo?
Mentre, per la varianza: $Var(-3X + Y + 2) = 9Var(X) + Var(Y) = 18$ è corretto?
Ricorda che $Var(X)=E(X^2)-E(X)^2->E(X^2)=...$
Per la varianza mi sembra corretto.
"Max861126":
2)Costruire a partire da X, Y, Z, una V.A. di Student con due gradi di libertà. Allora, sulla teoria ho che la V.A. di Student è composta da una V.A. normale e da una $chi^2$ formata a sua volta da altre V.A. normali. Il grado di libertà è dato dal numero degli elementi che compongono la V.A. $chi^2$
Quindi io dovrei sommare Y+Z = A per ottenere $chi^2$ e ottenere la student $T=X/(sqrt((A/2)))$. Corretto? Ma ora, questi calcoli andrebbero fatti? se sì, come? Per la somma di Z+Y non ho grossi problemi in quanto: $A = Z+Y = N(0, 18)$. E' corretto il mio svolgimento?
Su questo punto non sono d'accordo col tuo svolgimento.
Il numeratore della T di Student, dove hai messo la $X$, ci deve essere una v.a. normale standard.
Invece la tua $X$ ha media -1. Prova a costruire, usando la X data, una v.a. normale standard (media 0
)Al denominatore al posto di A ci va la somma dei quadrati di due v.a. normali standard, che devi costruire a partire dalla Y e dalla Z ...
Ah ok...sono standard! quindi N(0, 1) Ora, qualche indizio per costruirle?
"Max861126":
Ah ok...sono standard! quindi N(0, 1) Ora, qualche indizio per costruirle?
Standardizzazione: $(X-E[X])/sqrt(Var[X])$
Ok, vediamo se ci sono....normalizzo tutte le V.A seguendo la tua formula (che non c'era nei mie appunti e te ne sono infinitamente grato!)
$(X+1)/1$ quindi $X_s = (0, 1)$
per Y e Z il discorso è identico quindi calcolo solo la Y
$(Y-0)/3 = Y*1/3$ da cui $Y_s = (1/3*0, 1/3^2*9) = (0, 1)$
Quindi posto K = Z+Y = N(0,2)
$T = X / sqrt((K/2))$
$(X+1)/1$ quindi $X_s = (0, 1)$
per Y e Z il discorso è identico quindi calcolo solo la Y
$(Y-0)/3 = Y*1/3$ da cui $Y_s = (1/3*0, 1/3^2*9) = (0, 1)$
Quindi posto K = Z+Y = N(0,2)
$T = X / sqrt((K/2))$
"Max861126":
Quindi posto K = Z+Y = N(0,2)
$T = X / sqrt((K/2))$
Ok per la standardizzazione.
Per costruire la t di student però al numeratore devi mettere $X_s=X+1$
Al denominatore $K$ deve essere una chi-quadro con 2 gradi di libertà, quindi la somma di due quadrati di normali standard (indipendenti):
$K=Y_s^2+Z_s^2=(Y/3)^2+(Z/3)^2$
(naturalmente salvo errori)
Ooooook. Sei stato gentilissimo e chiarissimo!
Otteniamo, nel nostro caso
$T = (X+1) / ((Y/3)^2 / 2)$
Altro esempio: per ottenre, partendo da $X=N(-2, 4)$ e $Y=N(0,9)$ una student con 1 grado di libertà otterei
$T = ((X+2)/2)/(Y/3)$ corretto? dato che il quadrato di $Y/3$ si semplifica con la radice
Otteniamo, nel nostro caso
$T = (X+1) / ((Y/3)^2 / 2)$
Altro esempio: per ottenre, partendo da $X=N(-2, 4)$ e $Y=N(0,9)$ una student con 1 grado di libertà otterei
$T = ((X+2)/2)/(Y/3)$ corretto? dato che il quadrato di $Y/3$ si semplifica con la radice
"Max861126":
Otteniamo, nel nostro caso
$T = (X+1) / ((Y/3)^2 / 2)$
Però al denominatore dimentichi la radice e anche il termine $(Z/3)^2$ ...
"Max861126":
Altro esempio: per ottenre, partendo da $X=N(-2, 4)$ e $Y=N(0,9)$ una student con 1 grado di libertà otterei
$T = ((X+2)/2)/(Y/3)$ corretto? dato che il quadrato di $Y/3$ si semplifica con la radice
Non credo sia legittimo in tal caso semplificare il quadrato con la radice. O meglio, dato che il radicando può essere anche negativo, se semplifichi dovresti mettere un valore assoluto...
al denominatore avevo semplificato dato che c'era $(z/3)^4$ ma non semplifico e vado sul sicuro. Grazie 1000000
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