Operatore di Media e disuguaglianza di Holder

[Obionekenobi1]

Salve, devo offettuare una analisi delle prestazioni di uno stimatore che mi richiede di calcolare la media della radice quadrata di una funzione: la mia domanda è se posso portare la media dentro la radice, usando la disuguaglianza di Holder, e quindi ottendere che:

$E[sqrt(f)]>=sqrt(E[f])$

Che ne pensate?

[DajeForte]

La disuguaglianza non vale; anzi vale ma al contrario. (vedi disuguaglianza di Jensen)

Ovvero se poniamo $f=X$ una variabile aletoria non negativa (ed integrabile) vale che

$sqrt(E[X])>=E[sqrt(X)]$.

Per esemprio prendi $X=0$ con probabilità $1/2$ ed $X=1$ con probabilità $1/2$ (bernoulliana di parametro $1/2$).
$E[X]=1/2$ ed osserva che $X=sqrt(X)$ dunque

$sqrt(E[X])=1/(sqrt(2))>1/2=E[sqrt(X)]$.

[Obionekenobi1]

Io ho visto su più parti, è vero che si applica la disuguaglianza di Jensen, ma il maggiore o uguale non è nel verso che dici tu, piuttosto in quello che dicevo io. Vedi questi due link:
http://www.matapp.unimib.it/~fcaraven/did0809/Capitolo3.pdf
http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Jensen

Inoltre mica sai se c'è una condizione che mi dice quando la disuguaglianza di jensen vale col segno di uguaglianza, come accade ad esempio per holder: sai mi serve per le prestazioni del mio stimatore. GRazie.

[DajeForte]

La radice quadrata è una funzione concava. Il verso della tua disuguaglianza vale per funzioni convesse, il controesempio che ti ho scritto mostra che la tua disuguaglianza è falsa.

[Obionekenobi1]

Ma hai dato uno sguardo ai due link? Mi sembra che ovunque sul web si dica il contrario..

[DajeForte]

Si veloce, ma stai tranquillo che Jensen la conosco. ( e te hai dato uno sguardo al mio controesempio?)
Da wiki:

Lo stesso risultato può più naturalmente essere enunciato nel contesto della teoria della probabilità. Sia uno spazio di probabilità, X una variabile aleatoria a valori reali che possieda valore atteso, e φ una funzione convessa tale che anche φ(X) possieda valore atteso....

La funzione deve essere convessa!!!

Ti saluto che esco...

[Obionekenobi1]

Ho capito. Invece la radice è convaca.

[Obionekenobi1]

NOn capisco una cosa però. A me sembra che con la radice quadrata valga sempre il maggiore: quando vale l'uguale??? Io ho trovato che è, se i vari x nella sommatoria sono tutti uguali (caso discreto). Questa condizione come si esprime nel caso continuo: forse che la variabile sotto la radice X sia costante??? Che ne pensi ??