Numero fagiuoli marci rimanenti?

[Marione1]

Supponete che io abbia un sacco di fagioli e che per ogni fagiolo io sappia la probabilità che questo ha di essere marcio.
Adesso mi vorrei calcolare:
1)il numero di fagioli marci presenti in media nel sacco.
2)Mi ordino i fagioli in base al valore decrescente di probabilità, e poi mi chiedo:
a)quanti fagioli devo analizzare in media prima di trovare il primo marcio
b) quanti fagioli devo analizzare in media prima di trovare tutti i marci.

Qualcuno ha qualche idea?
Supponiamo ad esempio di avere 20 fagioli tutti con la stessa probabilità=0,1; a questo punto io direi che:
1) =2 (= sommatoria di tutte le probabilità=20x0,1)
2a)= 5 (a naso)
2b) =15 (a naso)
Oltre a non essere certo di tale risposte io cerco la soluzione “general purpose” che prenda in considerazione il caso in i fagioli non abbiano la stessa probabilità.

Grazie anticipatamente,
Marione

[Cheguevilla]

La prima è giusta.
La regola generale, trattandosi di una variabile binomiale, per la media è $mu=n*p$.
Ora, poichè sto mangiando proprio dei fagioli, e l'esercizio parla di fagioli marci e relative probabilità, prima finisco di mangiare, poi rispondo al resto.

[Marione1]

In realtà non mi occupo di fagioli ma di controllo della qualità di un processo industriale... ho pensato comunque che i fagioli potessero essere un esempio calzante

[Cheguevilla]

Parliamo del secondo punto.
Di che probabilità stai parlando?
Della probabilità di ogni fagiolo di essere marcio?

[Marione1]

Si. Inoltre l'idea è che ho molti fagioli nel sacco e quindi me li ordino in base alla loro probabilità di essere marci in modo tale da analizzare prima quelli con più alta proabilità, intendo cioè focalizzare il mio sforzo sui fagioli che richiedono maggior attenzione. Poi però mi inizio a chiedere se vale la pena continuare ad analizzare fagioli o lasciare stare la situazione così come è; per questo imi pongo le domande 2a e 2b...

[clrscr]

Per la risposta alla 2a potrei operare con una v.a gometrica.
Cioè se con "p"indico la prob. che un fagiolo sia buono, allora la prob di essere marcio è "1-p".
La $P[\text{ci siamo K fagioli buoni prima di uno marcio}]=p^k(1-p)$. Ora se le probabilità sono tutte uguali la media è $p/(1-p)$. Nel caso di prob. diverse non credo esista uno forma chiusa.

[clrscr]

Per l'ultima, ragionerei come segue...
Supponiamo che i fagioli totali siano "N".
Allora la probabilità che trovi un fagiolo buono prima che tutti siano marci, può presentarsi nel seguente modo:
$P[\text{ci siano k marci e uno buono}, k Quindi la media sarà:
$sum_(k=0)^(N-1) k(1-p)^kp*(1-(1-p)^N)$

[Marione1]

"clrscr":Per la risposta alla 2a potrei operare con una v.a gometrica.
Cioè se con "p"indico la prob. che un fagiolo sia buono, allora la prob di essere marcio è "1-p".
La $P[\text{ci siamo K fagioli buoni prima di uno marcio}]=p^k(1-p)$. Ora se le probabilità sono tutte uguali la media è $p/(1-p)$. Nel caso di prob. diverse non credo esista uno forma chiusa.

2a)Quindi? Mi calcolo la probabilità media (pesata) ed applico la formula di sopra?
Il problema è che in questo caso io non prendo in cosiderazione il fatto che analizzerò i fagioli dal piu probabile al meno probabile (di essere marcio).

[Marione1]

"clrscr":Per l'ultima, ragionerei come segue...
Supponiamo che i fagioli totali siano "N".
Allora la probabilità che trovi un fagiolo buono prima che tutti siano marci, può presentarsi nel seguente modo:
$P[\text{ci siano k marci e uno buono}, k Quindi la media sarà:
$sum_(k=0)^(N-1) k(1-p)^kp*(1-(1-p)^N)$

Non capisco l'equivalenza che tu sostieni tra la mia domanda= "quanti fagioli devo analizzare in media prima di trovare tutti i marci" e la tua = "probabilità che trovi un fagiolo buono prima che tutti siano marci"

[clrscr]

Per la seconda domanda, non credo che disponendo i fagioli con probabilità crescenti possa cambiare la media.

[clrscr]

Ciao...scusami per la terza domanda ma l'ho interpretata nel modo errato.
Però penso di aver fatto qualche passo in avanti. Fermo restando di considerare "M" fagioli con probabilità uguali $p=P[\text{buono}], (1-p)=P[\text{fagiolo marcio}]$.
Dunque la domanda chiede:
$E[\text{numero di fagioli analizzati prima di trovare tutti i fagioli marci}]$, applicando il valore atteso condizionato si avrà:
$sum_(K=0)^M E[\text{numero di fagioli analizzati prima di trovare tutti i fagilli marci}|\text{ci sono K fagili marci}]*P(\text{K fagioli marci})$

Soffermiamoci sul calcolo del valore atteso:
$E[\text{numero di fagioli analizzati prima di trovare tutti i fagilli marci}|\text{ci sono K fagili marci}]$.
A tale scopo calcoliamo ci la seguente probabilità:
$P[\text{analizzare "m" fagioli prima di trovare tutti i marci}|\text{ci sono K fagioli marci}]=((m-1),(K-1))(1-p)^(K-1) p^(m-K) *(1-p)$, l'ultimo termine deriva dal fatto che l'ultimo fagiolo degli "m" anallizati dev'essere marcio.

Ora il valore atteso sarà:
$sum_(m=K)^M m ((m-1),(K-1))(1-p)^(K-1) p^(m-K) *(1-p)$ la somma parte da "K" visto che il numero di estrazioni non può essere inferiore al numero dei fagioli marci.

Per quanto riguarda la $P(\text{K fagioli marci})$ non è altro che:
$((M),(K))(1-p)^K p^(M-K)$.
Quindi riagganciando i vari pezzi si otterrà:
$sum_(K=0)^M (sum_(m=K)^M m ((m-1),(K-1))(1-p)^(K-1) p^(m-K) *(1-p)) ((M),(K))(1-p)^K p^(M-K)$