Numero di n-uple aventi norma infinito fissata
Ciao a tutti. Ho il seguente quesito.
Consideriamo il monoide $(\mathbf{N}^n,+)$ e denotiamo con $\mathbb{x}$ la $n$-upla $(x_1,...,x_n)$ in $mathbf(N)^n$. Poniamo $||\mathbb{x}||_{\infty}=\max_{i=1,..,n}x_i$. Fissiamo un intero positivo $k$.
Ci chiediamo quante sono le $n$-uple tali che $||\mathbb{x}||_{\infty}=k$.
Consideriamo il monoide $(\mathbf{N}^n,+)$ e denotiamo con $\mathbb{x}$ la $n$-upla $(x_1,...,x_n)$ in $mathbf(N)^n$. Poniamo $||\mathbb{x}||_{\infty}=\max_{i=1,..,n}x_i$. Fissiamo un intero positivo $k$.
Ci chiediamo quante sono le $n$-uple tali che $||\mathbb{x}||_{\infty}=k$.
Risposte
tutti $\le k$. non tutti $\le k-1$
"ghira":
tutti $\le k$. non tutti $\le k-1$
Non ho capito scusa
"uomotorta":
[quote="ghira"]tutti $\le k$. non tutti $\le k-1$
Non ho capito scusa
[/quote]Tutti i valori devono essere $\le k$. Ma almeno uno deve essere $k$, quindi NON va bene se tutti i valori sono $\le k-1$. O non ho capito la domanda?
E bisogna sapere se $0\in\bb{N}$, chiaramente.
"ghira":
[quote="uomotorta"][quote="ghira"]tutti $\le k$. non tutti $\le k-1$
Non ho capito scusa
[/quote]Tutti i valori devono essere $\le k$. Ma almeno uno deve essere $k$, quindi NON va bene se tutti i valori sono $\le k-1$. O non ho capito la domanda?
E bisogna sapere se $0\in\bb{N}$, chiaramente.[/quote]
Ah ok, ho capito... Sì esatto. Cerchiamo tutte le $n$-uple $(x_1,...,x_n)$ in $mathbf(N)^n$ tali che $\max_{i=1,..,n}x_i=k$.
Assumiamo che la $n$-upla nulla stia in $mathbf(N)^n$.
"uomotorta":
Ah ok, ho capito... Sì esatto. Cerchiamo tutte le $n$-uple $(x_1,...,x_n)$ in $mathbf(N)^n$ tali che $\max_{i=1,..,n}x_i=k$.
Assumiamo che la $n$-upla nulla stia in $mathbf(N)^n$.
Quindi abbiamo finito.
Il numero cercato è dato dalle disposizioni con ripetizioni di $k$ oggetti ad $n$ ad $n$ meno le disposizioni con ripetizioni di $k-1$ oggetti ad $n$ ad $n$, quindi $(k+1)^n-k^n$.
Mi chiedevo per curiosità: se considerassi $||\mathbf{x}||_2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$ oppure $||\mathbf{x}||_1=x_1+...+x_n$, come cambierebbe la situazione?
Mi chiedevo per curiosità: se considerassi $||\mathbf{x}||_2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$ oppure $||\mathbf{x}||_1=x_1+...+x_n$, come cambierebbe la situazione?
"uomotorta":
Il numero cercato è dato dalle disposizioni con ripetizioni di $k$ oggetti ad $n$ ad $n$ meno le disposizioni con ripetizioni di $k-1$ oggetti ad $n$ ad $n$, quindi $k^n-(k-1)^n$.
Non dovrebbe essere $(k+1)^n-k^n$? Ecco perché ho chiesto se $0\in\bb{N}$.
"ghira":
[quote="uomotorta"]Il numero cercato è dato dalle disposizioni con ripetizioni di $k$ oggetti ad $n$ ad $n$ meno le disposizioni con ripetizioni di $k-1$ oggetti ad $n$ ad $n$, quindi $k^n-(k-1)^n$.
Non dovrebbe essere $(k+1)^n-k^n$? Ecco perché ho chiesto se $0\in\bb{N}$.[/quote]
Si, hai perfettamente ragione. Scusami
"uomotorta":
se considerassi $||\mathbf{x}||_1=x_1+...+x_n$, come cambierebbe la situazione?
Questo sembra abbastanza fattibile. Vogliamo mettere $k$ palle in $n$ scatole.
A questo punto pensiamo "Ma certo!" e guardiamo https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics)
Eh già, sono totalemente d'accordo con te!
La richiesta relativa alla norma eclidea mi sembra davvero diificile... D'oh!
La richiesta relativa alla norma eclidea mi sembra davvero diificile... D'oh!
"uomotorta":
Eh già, sono totalemente d'accordo con te!
La richiesta relativa alla norma eclidea mi sembra davvero diificile... D'oh!
https://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html
https://math.stackexchange.com/question ... ional-ball
Chiaramente tu hai solo una frazione della "palla": i punti dove tutti i valori sono non-negativi.
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