Numero di configurazioni possibili

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti. Mi sono bloccato nel fare un esercizio.
E' questo: Quante configurazioni si riescono a creare con 7 elementi, di cui 4 lettere e 3 cifre (supponendo che le lettere possibili siano 24 e le cifre possibili 10). Ho tenuto conto di due casi:
1) se l'ordinamento conta
2) se l'ordinamento non conta

Nel caso 2) sono $21^4 10^3$ .
Nel caso 1), invece, mi sono bloccato!
Ho pensato: visto che nel caso che l'ordinamento non conti, quindi supponiamo in un ordinamento del tipo $(L_1,L_2,L_3,L_4,C_1,C_2,C_3)$, si hanno $21^4 10^3$ configurazioni possibili, allora basta moltiplicarlo per tutti i possibili ordinamenti (che sono $7!$) ed è fatto. Ma poi ho notato che in un caso del tipo $(A,A,A,A,1,2,3)$, scambiando di posizione i primi 4, la configurazione resta la stessa e quindi si dovrebbe sottrarre qualcosa.
La soluzione riporta $( (7), (3) )21^4 10^3 $. Qualcuno mi spiega perchè?

[Sk_Anonymous]

Ho risolto. Dico come ho fatto, in modo che a qualcun altro possa essere utile.
Nel caso 1) si hanno per un singolo ordinamento $21^4 10^3$ configurazioni possibili.
Ora bisogna contare quanti sono gli ordinamenti possibili. Poichè vi sono 4 lettere e 3 numeri, si tratta di contare il numero di configurazioni che si possono avere con 7 oggetti presi 7 alla volta ($n=k=7$, quindi sono permutazioni) e di cui 4 sono identici tra loro ($L_1,L_2,L_3,L_4$) e altri tre sono identici tra loro ($C_1,C_2,C_3$). Quindi si tratta di permutazioni con ripetizione.
Allora gli ordinamenti possibili sono $\frac{7!}{3! 4!}=\frac{3!}{(7-3)!}=( (7), (3) )=( (7), (4) )$.
Quindi, infine, si ha che nel caso 1) sono $21^4 10^3 ( (7), (3) )$.